इकाई में बदलने के आसान तरीके

आसानी से इकाई बदलें

इस अध्याय में अलग अलग इकाई परिवर्तन के तरीके पर चर्चा की गई है. इस तरह के प्रश्न अक्सर परीक्षा में उपयोगी साबित होती है. मैट्रिक प्रणाली में एक इकाई से दुसरे में बदलने के लिए प्राथमिक स्तर की कक्षा में सिखाया जाता है पर यहाँ उसे परिमार्जित कर और थोडा तकनीक को उन्नत कर आपके सामने प्रस्तुत किया जा रहा है. यहाँ हम जिन इकाई परिवर्तन की बात करेंगे उनमे

1. तापमान
2. किमी / घंटा से मी./ से और मी. / से. से किमी / घंटा
3. किलोमीटर से मील
4. पाउंड्स से किलोग्राम
5. घंटा- मिनट का जोड़
6 घंटा – मिनट का घटा
7. राशी दुगुना करने का समय
8 इकाई परिवर्तन
तापमान

आपने सेल्सियस डिग्री से फ़ारेनहाइट और फ़ारेनहाइट से डिग्री सेल्सियस में बदलने के लिए अक्सर इस सूत्र का प्रयोग किया होगा
0F = 9/5 C + 32
0C = (F – 32) × 5/ 9

इस सूत्र के इस्तेमाल में सबसे बड़ी परेशानी गणना की होती है जिसमे एक साथ योग , गुणा , घटा और भाग इन चारो का प्रयोग एक साथ किया जाता है. अगर आपसे यह पूछा जाये की आप एक सरल पद्धति सीखना चाहते है तो आपका उत्तर सकारात्मक होगा .
• फ़ारेनहाइट से सेल्सियस में बदलने के लिए 32 घटायें और प्राप्त परिणाम में 2 से भाग दें
• सेल्सियस से फ़ारेनहाइट के लिए दिए गए मान को दोगुना करें और 30 जोड़ दें
उदाहरण :- 720F को 0C में बदलिए
हल :- सबसे पहले इस मान में 32 घटाइए = 72 – 32 = 40
अब इसे आधा कीजिये 40 ÷ 2 = 20
उपरोक्त सूत्र का प्रयोग कर समय खर्च का अंदाजा लगाइए. दोनों उत्तर में थोडा सा अंतर आपको दिखेगा परन्तु बचने वाले समय को ध्यान में रखते हुए यह मामूली अंतर काफी कम है.
C = (F – 32) × 5/ 9
= (72 – 32) × 5/9

= (40 × 5) ÷ 9 = 22.2

उदाहरण :- 64 F को C में बदलिए
हल :- सबसे पहले इस मान में 32 घटाइए = 64 – 32 = 32
अब इसे आधा कीजिये 32 ÷ 2 = 16
सूत्र से -

C = (F – 32) × 5/ 9
= (64 – 32) × 5/9
160 ÷ 9 = 17.7

उदाहरण :- 12C को F में बदलिए
हल :- सबसे पहले इस मान को दुगुना करें = 12 X 2 = 24
अब इसमें 30 जोड़ दीजिये = 24 + 30 = 54
सूत्र से आपको यहाँ भी मामूली अंतर आएगा जो समय और मेहनत को देखते हुए नगण्य है.
F = 9/5 C + 32
= 9/5 × 12 + 32
= 108/5 + 32
= 21.6 + 32 = 53.6

उदाहरण :- 25C को F में बदलिए
हल :- सबसे पहले इस मान को दुगुना करें = 25 X 2 = 50
अब इसमें 30 जोड़ दीजिये = 50 + 30 = 80

किलोमीटर/घंटा से मीटर/सेकंड और मीटर/सेकंड से किलोमीटर/घंटा

किमी /घ से मी/से में बदलने के लिए 5 /18 से गुना करें तथा मी/से से किमी/घ में बदलने के लिए 18 / 5 से गुना करें

उदाहरण :- 72 किमी / घ को मी./ से में बदलें
हल :- 5/18 से गुना करें = 72 × 5/18 = 20 मी / से
उदाहरण :-64 किमी / घ को मी./ से में बदलें
हल :- 5/18 से गुना करें = 64 × 5/18 = 17.7 मी / से
उदाहरण :- 20 मी / से को किमी./ घ में बदलें
हल :- 18 / 5 से गुना करें = 20 × 18 /5 = 72 किमी / से

उदाहरण :- 35 मी / से को किमी./ घ में बदलें
हल :- 18 / 5 से गुना करें = 35 × 18/5 = 126 किमी / घ

किलोमीटर से मील में बदलना

किलोमीटर को मील में बदलने के लिए दी गयी राशी को 8 से गुणा करें और प्राप्त परिणाम को 5 से भाग दें
उदाहरण :- 80 किलोमीटर को मील में बदलिए ?
हल :- 8 से भाग दे = 80/8 = 10
5 से गुणा करें = 10 × 5 = 50 मील

उदाहरण :- 24 किलोमीटर को मील में बदलिए ?
हल :- 8 से भाग दे = 24/8 = 3
5 से गुणा करें = 3 × 5 = 15 मील

किलोग्राम से पौण्ड में बदलना

किलोग्राम से पौंड में बदलने के लिए राशी को 2.2 से गुणा करें. इसे और आसान बनाने के लिए आप संख्या को पहले 11 से गुणा करें और पुनः 2 से . प्राप्त परिणाम को 10 से भाग दे दें .
उदाहरण :- 80 किलोग्राम को पौंड में बदलिए ?
हल :- 11 से गुणा करने पर 80 x 11 = 880
2 से गुणा करें = 880 x 2 = 1760
10 से भाग दे = 1760/10 = 176 पाउंड्स

उदाहरण :- 76 किलोग्राम को पौंड में बदलिए ?
हल :- 11 से गुणा करने पर 76 x 11 = 836
2 से गुणा करें = 836 x 2 = 1672
10 से भाग दे = 1672/10 = 167.2 पाउंड्स

उदाहरण :- 54 किलोग्राम को पौंड में बदलिए ?
हल :- 11 से गुणा करने पर 54 x 11 = 594
2 से गुणा करें = 594 x 2 = 1188
10 से भाग दे = 1188/10 = 118.8 पाउंड्स

डॉ राजेश कुमार ठाकुर
rkthakur1974@gmail.com

अपरिमेय संख्या का वर्गमूल व अपूर्ण संख्या का घनमूल

अपरिमेय संख्या का वर्गमूल व अपूर्ण संख्या का घनमूल

प्रतियोगिता परीक्षा में अक्सर ऐसे प्रश्न होते हैं जिनके हल करने में आपको अपरिमेय संख्या का वर्गमूल निकालने की जरुरत होती है और साथ ही कई बार जब आप क्षेत्रमिति या त्रिकोणमिति के सवाल को हल करते हैं तो आपको √7 , √11 , √37 ... के वर्गमूल की जरुरत होती है और आप असमंजस की स्तिथी रहती है की आप इसका हल कैसे निकालेंगे क्योंकि विद्यालयी पाठ्यक्रम में जिस नियम को सिखाया जाता है उससे अगर आप हल करने की सोचें तो आपको कुछ समस्या और समय लग सकता है. मैं यहाँ जो नियम आपको बताने जा रहा हूँ उससे आपकी समस्या छु मंतर हो जाएगी. इसे और आसान बनाने के लिए आपसे गुजारिश करूँगा की 1 से 20 तक के वर्ग आप अवश्य ही याद कर ले जिससे आपको इस तरह के सवाल को हल करने में सहायता मिलेगी. अपरिमेय संख्या की खोज का श्रेय पाइथागोरस को जाता है . शुल्व सूत्र में भी अपरिमेय संख्या का विस्तृत वर्णन मिलता है और साथ ही √2 का दशमलव के 4 अंको तक सही मान निकालने के लिए एक सूत्र भी दिया .

उदाहरण :- 26 का वर्गमूल निकालें ?
हल :- 1. सबसे पहले आप संख्या के नजदीक के पूर्ण वर्ग को ढूंढे . यहाँ 26 के नजदीक 25 (= 52) ऐसी संख्या है जो पूर्ण वर्ग है.
2. पूर्ण वर्ग संख्या और जिस संख्या का वर्गमूल निकलना है का अंतर निकालें .
अंतर = 26 – 25 = 1
3. अपरिमेय संक्या का वर्ग =

उपरोक्त सूत्र का इस्तेमाल कर आप आसानी से इसे हल कर सक सकते हैं. यहाँ आपको जो उत्तर प्राप्त होगा उसका मान दशमलव के बाद 2 अंकों तो सही हो सकता है क्योंकि यह उत्तर एक अनुमानित हल है . आइए हम पिछले उदाहरण पर लौटे .
√26 = 5 + 1/2x5 = 5 + 0.5 = 5.5

आशा है की आपको यह विधि आसान लगेगी. चलिए हम कुछ और उदहारण देखे .
उदहारण : √47 = ?
हल :- 47 के नजदीक 49 एक पूर्ण वर्ग है जिसका वर्गमूल 7 होगा .
अंतर = 47 – 49 = - 2
√47 = 7 - 2/2 x 7 = 7 - 0.0142 = 6.9858

उदहारण : √139 = ?
हल :- 139 के नजदीक 144 एक पूर्ण वर्ग है जिसका वर्गमूल 12 होगा .
अंतर = 139 – 144 = -5
√139 = 12 - 5/2 x 12 = 12 - 0.083 = 11.91

अपूर्ण घनमूल निकलने की विधि
किसी संख्या का घनमूल निकालना अपने आप में एक टेढ़ी है , अगले आने वाले अंको में कई वर्गमूल और घनमूल निकलने के कई विधि पर चर्चा करेंगे . चलिए उदाहरण के जरिये कुछ प्रश्नों पर विचार करें.
अपूर्ण घन का घनमूल =

उदाहरण:- 128 का घनमूल निकालें?
हल :- 128 के नजदीक का पूर्ण घन 125 है और इसका घनमूल 5 है .
अंतर = 128 – 125 = 3
(128)1/3 = 5 + 3/3 x 5 ^2 = 5 + 0.04 = 5.04
उदाहरण: - 761 का घनमूल निकालें
हल : - 761 के नजदीक 729 एक पूर्ण घन है और इसका घनमूल 9 है
अंतर = 761 – 729 = 32
(761)^1/3 = 9 + 32/ 3 x 9^2 = 9 + 0.131 = 9.131

आशा है की आपको परीक्षा में इसपर आधारित कुछ सवाल को हल करने में इस अचूक विधि से भरपूर सहायता करने में हल मिलेगी. तो क्यों न कुछ अभ्यास प्रश्नों की मदद से लेख की समाप्ति करें.
वर्गमूल निकाले:-
45 , 78 , 87 , 115, 236 , 461
घनमूल निकालें
76 , 28 , 98 , 47 , 468, 783
सबसे पहले आप उपरोक्त सवाल को हल करें और फिर अपने उत्तर की जाँच करने के लिए आप कैलकुलेटर का प्रयोग कर सकते हैं.

डॉ. राजेश कुमार ठाकुर

संख्या पद्धति -3

संख्या पद्धति
पिछले अंक में आपने विभाज्यता की जाँच , इकाई अंक निकालना, सम, विषम , प्राकृत संख्या का योग निकालना सीखा , अब इसी श्रृंखला को आगे बढ़ाते हैं.

गुणोत्तर श्रेणी

गुणोत्तर श्रेणी में दो लगातार संख्या का अनुपात बराबर होता है. 1, 2, 4, 8, 16, 32... गुणोत्तर श्रेणी का उदाहरण है क्योंकि 2/1 = 4/2 = 8/4 . इस सार्व अनुपात को r कहते है और a = प्रथम पद . इस प्रकार a, ar,ar^2, ar^3 ---- गुणोत्तर श्रेणी में है.
n वा पद = ar^n – 1
n पदों का योग = यदि r < 1 तथा यदि r > 1
उदाहरण: - 2 + 22 + 23 + --- + 210 = ?
हल :- यह गुणोत्तर श्रेणी में है जहाँ पहला पद = 2 , n = 10 तथा r = 4/2 = 2 >1
योग = 2 (2^10 – 1) / 2 – 1 = 2046

समान्तर श्रेणी

यदि दो पदों का अंतर पूरी श्रृंखला में समान हो तो यह समांतर श्रेणी में है. 2, 7, 12, 17,.... समान्तर श्रेणी का उदाहरण है जहाँ a = पहला पद तथा d = सार्व अंतर = दुसरा पद – पहला पद यहाँ a , a+d ,a+ 2d , a+3d --- समांतर श्रेणी का पद है .

n वा पद = a + (n – 1 )d
n पदों का योग = n{2a+ (n –1)d} 2
उदाहरण :- 6 + 15 + 24 + --------+ 105 = ?
हल :- a = 6 , d = 15 – 6 = 9 अंतिम पद = 105 = n वा पद
n वा पद = a + (n – 1 )d = 105 = 6 + (n – 1) x 9 = 105 , अतः n = 12
योग = 12/2 x {2 x 6 + (12 – 1)x9} = 666

संख्या पर क्रिया

a + b = b + a --- योग का क्रम विनिमय नियम
a x b = b x a ----- गुना का क्रम विनिमय नियम
a + (b + c) = (a+b)+ c ----- योग का सहचर्य नियम
a x ( b x c ) = (a x b) x c ---- गुना का सहचर्य नियम
a x (b + c ) = a x b + a x c ------------ वितरण नियम
भाज्य = भाजक x भागफल + शेष

उदाहरण :- किसी संख्या को 342 से भाग देने पर 47 शेष बचता है यदि उसी संख्या को 18 से भाग दिया जाये तो कितना शेष बचेगा.
हल :- माना संख्या को 342 से भाग देने पर भागफल k आता है और शेष = 47 तो
भाज्य = 342k + 47 = 18 x 19k + 18 x 2 + 11 = 18(19k+2)+ 11
इसमें 18 से भाग देने पर शेष 11 बचेगा.

उदाहरण:- निम्न में कौन सी संख्या 461 + 462+463+464 को विभाजित करेगी ?
a) 3 b)10 c)11 d)13
हल :- 461(1 + 4 + 42 + 43) = 461 x 85 = 460 x 4 x 85 = 460 x 340 , 10 से विभाजित होगी .

उदाहरण:- एक 3 अंक की संख्या 4a3 को अन्य 3 अंक की संख्या 984 में जोड़ने पर एक 4 अंक की संख्या 13b7 प्राप्त होती है जो 11 से विभाजित है तो a+ b = ?
a)10 b) 11 c) 12 d)13
हल :- 4 a 3 + 9 8 4 = 13 b 7 , अर्थात a + 8 = b , 11 से विभाजित होने के लिए सम स्थानों पर स्थित संख्या और विषम
स्थानों पर स्थित संख्या का अंतर 0 या 11 से विभाजित होगी.
(7+3) – (b +1) = 9 – b = 0
b = 9 ; b का यह मान a + 8 = b में रखने पर a = 1 होगा. अर्थात a + b = 10

उदाहरण :- 444444 किन संख्याओ से विभाजित होगी?
हल :- इस प्रश्न को हल करने के पहले मैं कुछ बातें आपको बताना चाहता हूँ –
• यदि किसी संख्या की आवृति सम हो तो वो 11 से विभाजित होगी
• यदि किसी संख्या की आवृति 3 बार , 6 बार , 9 बार –( 3 के गुणज) हो तो वो संख्या 3 और 37 से विभाजित होगी
• यदि किसी संख्या की आवृति 6 बार, 12 बार , 18 बार (6 के गुणज ) हो तो वह संख्या 3 , 7 , 11 और 13 से विभाजित होगी
यहाँ 4 की आवृति 6 बार है तो यह 7 , 11 और 13 से विभाजित होगी

दो अंको की संख्या
यदि किसी संख्या का इकाई अंक x और दहाई y हो तो संख्या = 10y+ x होगा और इसके पलटने से बनी संख्या = 10x+y होगा
1. यदि दो अंको की संख्या और उसके अंको को पलटने से बनी संख्या को जोड़ दिया जाये तो प्राप्त संख्या हमेशा 11 से विभाजित होगी और उस संख्या के अंको का योग = संख्याओं का योग ÷ 11

2. यदि दो अंको की संख्या और उसके अंको को पलटने से बनी संख्या को घटा दिया जाये तो प्राप्त संख्या हमेशा 9 से विभाजित होगी और उस संख्या के अंको का अंतर = संख्याओं का अंतर ÷ 9

उदाहरण:- यदि दो अंको की संख्या और उसके पलटने से बनी संख्या का योग 77 है तो संख्या का योग क्या होगा?
हल :- उपरोक्त नियम से संख्या का योग = 77 /11 = 7
• यदि कोई संख्या अपने x/y वें भाग से z अधिक है तो संख्या = yz / y – x होगी
• यदि किसी संख्या को x/y से गुणा या भाग करने के बदले x/y से भाग या गुणा कर दिया जाए तो वास्तविक परिणाम से z अधिक या कम प्राप्त हो तो संख्या = x y z / (x+y)(y-x) होगा.

उदाहरण :- यदि कोई संख्या अपने 1/5 से 20 अधिक है तो संख्या बताएं
हल:- संख्या = (20 x 5) ÷ (5-1) = 25

उदाहरण :- एक छात्र को 5/9 से गुणा करने के लिए कहा गया परन्तु उसने 5/9 से भाग दे दिया जिसके कारण परिणाम वास्तविक परिणाम से 112 अधिक प्राप्त हुआ , दी संख्या बताएं
हल :- (5 x 9 x 112 ) ÷ (5+9) (9-5) = 90

आपने देखा की यदि हमें कुछ लधु विधि से सवाल हल करने के तरीके पता हो तो हम अवश्य ही परीक्षा में तेजी से उत्तर प्राप्त कर सकते हैं. तो पढ़ते रहें और याद रखे गणित सिखने के लिए अधिक से अधिक प्रयास और मेहनत की जरुरत है और आशा है आप ऐसा ही करेंगे.

डॉ राजेश कुमार ठाकुर

संख्या पद्धति- 2 और भाज्यता की जाँच

अब इसी कड़ी को आगे बढ़ाते हैं .
भाज्यता की जाँच :-

2 :- कोई संख्या 2 से बिभाजित होगी यदि इकाई अंक 0,2,4,6,और 8 हो. जैसे – 978 , 4567890

3:- कोई संख्या 3 से बिभाजित होगी यदि संख्या के सभी अंको का योग 3 से विभाज्य हो. जैसे – 954 के सभी अंक का योग 9 + 5 + 4 = 18 , 3 से विभाज्य है अतः 954 भी 3 से विभाजित है .

4:- कोई संख्या 4 से बिभाजित होगी यदि अंतिम दो अंक (इकाई अंक दहाई अंक) 4 से विभाजित हो या अंतिम दो अंक 00 हो.
928 , 4 से विभाज्य है क्योंकि 28 , 4 से भाजित है .

5 :- कोई संख्या 5 से बिभाजित होगी यदि इकाई अंक 0 और 5 हो . जैसे – 120 , 2567965

6:- कोई संख्या 2 से बिभाजित होगी यदि वह 2 और 3 से विभाज्य होगी . 126 , 2 और 3 से विभाजित होती है अतः यह 6 से विभाजित होगी.

7 :- संख्या के अंकों को विपरीत क्रम में (दायीं से बायीं ओर) ले और इन्हें क्रमशः 1, 3, 2, 6, 4, 5 से गुणा करें और यह क्रम जब तक आवश्यक हो दुहरायें . परिणाम को योग करें और यदि यह परिणाम 7 से विभाज्य हो तो मूल संख्या भी 7 से बिभाज्य होगी .
उदहारण :-क्या 1603 , 7 से विभाज्य है ?
3 x 1 +0 x 3 + 6 x 2 +1 x 6 =21, 7 से विभाज्य है अतः 1603 भी 7 से विभाज्य होगी.

8: कोई संख्या 8 से बिभाजित होगी यदि अंतिम तीन अंक (इकाई, दहाई और सैकड़ा अंक ) 8 से विभाजित हो या अंतिम तीन अंक 000 हो . जैसे - 28000 , 856,

9:- कोई संख्या 9 से बिभाजित होगी यदि संख्या के सभी अंको का योग 9 से विभाज्य हो. जैसे – 954 के सभी अंक का योग 9 + 5 + 4 = 18 , 9 से विभाज्य है अतः 954 भी 9 से विभाजित है .

10:- कोई संख्या 10 से बिभाजित होगी यदि इकाई अंक 0 हो . जैसे – 120 , 25679650

11:- कोई संख्या 11 से विभाजित होगी यदि इसके सम स्थानों पर स्थित संख्या और विषम स्थान पर स्थित संख्या के योग का अंतर 11 से भाजित हो या 0 हो.
2321, में सम स्थान पर स्थित संख्या का योग = 2 + 2 = 4 तथा विषम स्थान पर स्थित संख्या का योग = 1 + 3 = 4 एवं इनका अंतर 4 – 4 = 0 है , अतः यह 11 से भाजित होगी

उदाहरण :- 234*5 यदि 9 से विभाजित है तो * के स्थान पर क्या आएगा?
हल :- 2+3+4+5 = 14 , उपरोक्त नियम से 9 से विभाजित होने के लिए संख्या का योग 9 का गुणनफल होना चाहिए. अतः * = 18 – 14 = 4
उदाहरण:- यदि x एवं y संख्या 653xy के दो अंक हैं जो 80 से विभाजित है तो x + y =?
a) 2 b)3 c) 4 d)5
हल :- संख्या 80 = 8 x 10 से विभाजित है , 10 से विभाजित होने के लिए इकाई अंक 0 होना चाहिए , अतः y = 0 होगा . साथ ही 8 से कोई संख्या तभी विभाजित होगी यदि अंतिम तीन अंक 8 से विभाजित होना आवश्यक है , अतः x = 2 और x + y = 2 + 0 = 2 होगा

इकाई अंक निकालना

उदाहरण:- (729)^59 का इकाई अंक क्या होगा
हल :- घात में 1 घटाए और 4 से भाग दें .
59 – 1 = 58 और 58 में 4 से भाग देने पर 2 शेष आता है
अतः इकाई का अंक = (9)2+1 = 93 = 729 में इकाई अंक 9 होगा

उदाहरण :- (2467)^153 x (341)^72 के गुणनफल में इकाई का अंक क्या होगा
हल:- (2467)^153 में (153 – 1)/4 में शेष = 0 है ,अतः इकाई का अंक = (7)0+1 = 7 होगा
(341)^72 में (72 – 1)/4 में शेष = 3 है तो इकाई का अंक = (1)3+1 = 1 होगा
अतः (2467)^153 x (341)^72 के गुणनफल में इकाई का अंक = 7 x 1 = 7

उपरोक्त उदाहरण के अनुसार :- यदि किसी दी हुई संख्या y की घात x हो अर्थात संख्या (y)x हो तो x-1 में 4 से भाग देकर शेष ज्ञात करते है. इकाई का अंक = (y की इकाई का अंक )शेष+1 होगा.

अंको से बनी बड़ी और छोटी संख्या :-
अंक सबसे बड़ी सबसे छोटी
2 99 10
3 999 100
4 9999 1000
5 99999 10000

प्रश्न:- सात अंको की सबसे बड़ी और आठ अंको की सबसे छोटी संख्या का अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर :- सात अंको की सबसे बड़ी संख्या = 9999999 तथा सात अंको की सबसे छोटी संख्या = 10000000 होगी और इनका अंतर = 10000000 – 9999999 = 1

संख्या के योग :-
1. लगातार n प्राकृत संख्या का योग = 1 + 2 +---+n = n(n+1)/2
2. लगातार n तक की विषम संख्या का योग = (n+1)^2/4
3. लगातार n सम संख्या का योग = n(n+1)
4. लगातार n प्राकृत संख्या के वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6
5. लगातार n प्राकृत संख्या के घनो का योग = n^2 (n+1)2/4
6. प्रथम n विषम संख्या का योग = n^2

उदाहरण :- प्रथम 10 विषम संख्या का योग बताएं
हल :- (10)2 = 100 ( सूत्र संख्या = 6)
उदाहरण :- 1 से 101 तक की विषम संख्या का योग बताये
हल :- (1 + 101)2 / 4= 2601 ( सूत्र संख्या = 2)
उदाहरण :- 1 से 100 तक के सभी संख्या का योग बताइए
हल :- (100 x 101)/2 = 5050
(अगले अंक में जारी)
डॉ राजेश कुमार ठाकुर

संख्या पद्धति

संख्या पद्धति

प्राचीन काल में मनुष्य रस्सी में गांठ बांधकर या पेड़ पर कटावदार चिन्ह बनाकर गिनती की शुरुआत करता था जो कालांतर में संख्या का रूप ले लिया और और बाद में विभिन्न सभ्यताओं ने अपनी अपनी संख्या पद्धति का विकास किया. 300 ईशा पूर्व तक भारतीय गणितज्ञ ने कुछ संख्यांक का खोज किया परन्तु इसमें शुन्य का उल्लेख नहीं था. शुन्य के खोज के उपरांत स्थानीय मान वाला अंक प्रणाली की खोज का श्रेय भारत को ही जाता है जिसे बाद में अरब गणितज्ञ ने प्रचार किया और अभी बर्तमान अंक पद्धति को हिन्दू अरबी अंक पद्धति कहा जाता है . 1220 में अंको की कहानी (लिबेर अबाची) पुस्तक द्वारा फिबोनाची ने पश्चिमी देशो में 0 – 9 अंको वाली दाशमिक प्रणाली से अवगत कराया .

अंको के मान

किसी संख्या के अंको के दो मान होते है – 1. अंकित या वास्तविक या शुद्ध मान 2. स्थानीय मान
किसी अंक का वह मान जो कभी नहीं बदलता है उसे वास्तविक मान कहते है और वह मान जो उनके स्थान विशेष की स्थिति के अनुसार बदलता है स्थानीय मान कहलाता है.

उदाहरण:- 235 में 2 का अंकित मान 2 तथा स्थानीय मान 200 है.
करोड़ लाख हजार इकाई
दस करोड़ करोड़ दस लाख (मिलियन ) लाख दस हजार हजार सैकड़ा दहाई इकाई
100000000 10000000 1000000 100000 10000 1000 100 10 1
10^8 10^7 10^6 10^5 10^4 10^3 10^2 10^1 10^0

संख्या के प्रकार

1. प्राकृत संख्या – गिनती की संख्या को प्राकृत संख्या कहते है . जैसे 1, 2, 3, ----- इत्यादि

2. पूर्ण संख्या :- प्राकृत संख्या में 0 सम्मिलित करने पर पूर्ण संख्या का समूह बनता है . जैसे 0, 1, 2, ..

3. पूर्णांक संख्या :- प्राकृत संख्या में 0 और ऋण संख्या सम्मिलित करने पर पूर्णांक संख्या प्राप्त होती है . --- जैसे -3, -2 , -1 , 0, 1, 2, 3,---
4. सम संख्या :- 2 से विभाजित संख्या . जैसे 0, 2, 4----

5. विषम संख्या:- ऐसी संख्या जो 2 से पूर्ण रूप से बिभाजित नहीं हो. जैसे 1, 3, 5, 7---

6. भाज्य संख्या :- ऐसी प्राकृत संख्या जो 1 या स्वयं के अतिरिक्त दूसरी संख्याओ से विभाजित हो जाये. जैसे 4, 6, 8, 9,10,---

7. अभाज्य संख्या :- 1 से बड़ी ऐसी प्राकृत संख्या जो 1 या स्वयं के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाजित न हो. जैसे -2, 3, 5, 7, ----

8. परिमेय संख्या :- जो संख्या p/q के रूप में हो जहाँ p और q दो पूर्णांक है तथा q ≠0 परिमेय संख्या कहलाती है . जैसे ¾ , 17/49 , 0, 5, ---
9. अपरिमेय संख्या :- जो संख्या p/q के रूप में न हो .जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠0 जैसे √2, √3 , ---

एक संख्या अभाज्य है की नहीं की जाँच :-

दो संख्या के बीच कितने अभाज्य संख्या है को निकालने के लिए कोई संख्या इरास्थेनिस के द्वारा एक बिधि का उल्लेख आता है परन्तु प्रतियोगिता परीक्षा में किसी दी हुई संख्या के अभाज्य होने या न होने पर प्रश्न पूछे जाते हैं. मान लीजिये की p एक दी हुई संख्या है तो सबसे पहले आप n एक ऐसी संख्या खोजिये जिससे n^2 ≥ p हो . अब आप n से छोटी सभी अभाज्य संख्या से p को भाग दें यदि p इनमे से किसी भी संख्या से भाजित न हो तो p अभाज्य है नहीं तो p भाज्य होगी

उदाहरण :- क्या 437 अभाज्य है ?
हल :- यहाँ (21)^2 > 437 है और 21 से छोटी अभाज्य संख्या क्रमशः 2, 3, 5, 7,11,13,17,19 है और 437 संख्या 19 से विभाजित है अतः 437 अभाज्य नहीं है

उदाहरण :- क्या 811 अभाज्य है ?
हल :- यहाँ (30)^2 > 811 है और 30 से छोटी अभाज्य संख्या क्रमशः 2, 3, 5, 7,11,13,17,19,23 और 29 है और 437 किसी संख्या से विभाजित नहीं है अतः 811 अभाज्य है.

दो परिमेय संख्या के बीच अनगिनत परिमेय संख्या निकालना:-

यदि दो संख्या p और q हैं और इनके बीच हमें n परिमेय संख्या निकालना है तो इसके दो बिधि है

पहली विधि :- इस सूत्र में n = 1, 2, 3, ----- है

उदाहरण:- 2 और 3 के बीच 2 परिमेय संख्या निकालें
हल :- यहाँ p = 2 और q = 3 है , पहली संख्या के लिए n = 1 लेने पर 5/2 तथा n = 2 रखने से 8/3 प्राप्त होती है. आप n के अलग अलग मान के लिए अपनी इच्छा से अनगिनत संख्या निकाल सकते हैं .
दूसरी विधि :- संख्य को 10 से गुना और भाग करें
2 = 20/10 और 3 = 30/10 लिख सकते हैं.
21/10 , 22/10 , 23/10 -----------29/10 परिमेय संख्या है . आप 100 से गुना और भाग देकर और भी अधिक संख्या निकाल सकते हैं
2 = 200/100 और 3 = 300 / 100 है और 201/100 , 202/100---------------299/100 परिमेय है.

अगले अंक में जारी ---------------
(लेखक :-डॉ राजेश कुमार ठाकुर )