MATH SYMBOL QUIZ

सड़क निर्माण में गणित

सड़क निर्माण में गणित

औसत -2

औसत

मित्रों पिछले अंक में आपने बीजगणितीय सूत्रों पर आधारित कुछ सवालों को सीखा साथ ही कुछ सूक्ष्म विधि द्वारा औसत के ऐसे सवालों पर चर्चा की गयी थी जो प्रतियोगी परीक्षा में अक्सर पूछे जाते हैं , इसे क्रम को आगे बढ़ाते हुए कुछ सवालो पर इस अंक में हम प्रकाश डालेंगे.

प्रश्न ;- एक कक्षा के 20 छात्रों में से एक छात्र जिसका औसत भार 25 किग्रा. है चला जाता है और उसके स्थान पर एक नया छात्र आ जाता है, जिससे छात्रों के औसत भार में 1 किग्रा. की वृद्धि हो जाती है. नए छात्र का भार बताएं.

हल :- ऐसे प्रश्न भी आप बखूबी सूक्ष्म विधि से हल कर सकते हैं

वृद्धि होने पर
आने वाले व्यक्ति की आयु = जाने वाले व्यक्ति की आयु + समूह में व्यक्तियों की संख्या x औसत वृद्धि

कमी होने पर
आने वाले व्यक्ति की आयु = जाने वाले व्यक्ति की आयु – समूह में व्यक्तियों की संख्या x औसत में कमी

आने वाले व्यक्ति का भार = 25 + 20 x 1 = 45

प्रश्न:- नीलभ ने क्रिकेट मैच के फाइनल में 25 रन देकर 5 विकेट लिए जिससे औसत 0.4 घट गया , नीलभ का नया औसत ज्ञात करें यदि अब तक ली गयी विकेट की संख्या 100 है.
हल :- माना फाइनल से पहले नीलभ का औसत = x
( 100 – 5 ) x + 25 = 100 ( x – 0.2)
95x + 25 = 100 x – 20
100x – 95x = 25 + 20
5x = 45
x = 9
नीलभ का नया औसत = 9 – 0.2 = 8.8

प्रश्न :- किसी ऑफिस में काम करने वाले सभी कर्मचारियों की औसत आमदनी 700 रु. प्रति दिन है जबकि वहां काम करने वाले अफसरों की औसत आमदनी 1150रु. प्रति दिन है तथा अन्य कर्मचारियों की औसत आमदनी 400 रु. प्रति दिन है. यदि ऑफिस में 20 अफसर है तो अन्य कर्मचारियों की संख्या निकालें?
हल :- माना अन्य कर्मचारी = x
» 400x + 20 x 1150 = 700 ( 20 + x)
» 400x + 23000 = 14000 + 700x
» 300x = 9000
x = 30

औसत -1

औसत

दो या दो से अधिक सजातीय राशियों के जोड़ को कुल राशी के साथ भाग देने पर औसत प्राप्त होता है. प्रतियोगी परीक्षा में इसपर आधारित सवालों की अपेक्षा भी रहती है. यूँ तो इस तरह के सवाल कुछ बीजगणितीय सूत्रों पर आधारित रहते हैं या फिर शब्द समस्या पर, जिसे थोड़ी मेहनत कर आप सीख सकते हैं.
यदि संख्याए x1 , x2 , x3 --- xn हो तो इनका औसत = (x1 + x2 + x3 + --- + xn) / n होगा .

औसत पर आधारित कुछ सूत्र
1. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1) / 2
2. प्रथम n सम संख्याओं का औसत = (n + 1)
3. प्रथम n विषम संख्याओं का औसत = n
4. प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत = (n +1) (2n + 1) / 6
5. प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत = n (n + 1)2 / 4
6. 1 से लेकर n तक की विषम संख्याओं का औसत = (n+1)/2
7. 1 से लेकर n तक की सम संख्याओं का औसत = (n + 2)/2

प्रश्न :- 1 से लेकर 31 तक की संख्या का औसत निकालें
हल :- ऊपर बताये गए सूत्र संख्या 6 से औसत = (31 + 1) / 2 = 16

प्रश्न :- 1 से 25 तक के सभी संख्याओं के वर्गों का औसत निकालें ?
हल :- सूत्र 4 से औसत = (25 + 1) (2 x 25 + 1) / 6 = 221 , यहाँ n = 25

प्रश्न :- 1 से 10 तक की सभी संख्याओं के घनों का औसत निकालें ?
हल :- सूत्र 5 से , औसत = 10 x (10+ 1)2 / 4 = 302.5

प्रश्न :- लव-कुश अपने घर से विद्यालय 12 किमी/घ की रफ़्तार से गया और शाम को छुट्टी के समय 10 किमी/घ की रफ़्तार से घर वापस आया तो बताएं उसकी औसत चाल कितनी थी ?
हल :- ऐसे प्रश्नों को सीधे ही सूक्ष्म विधि के सूत्रों द्वारा हल किया जा सकता है –
यदि समान दुरी तय करने में क्रमशः चाल x किमी/घ और y किमी/घ हो तो औसत चाल = 2xy /x + y होगी
यहाँ x = 12 तथा y = 10 है अतः औसत चाल = (2 x 12 x 10)/ 10 +12 = 10.9 किमी/घ

प्रश्न :- अब्दुल रहीम अपने घर से 15 किमी/घ की चाल से स्कुल जाता है और अपने शिक्षक की मोटरसाइकिल लेकर 10 किमी/घ की रफ़्तार से वापस लौटता है, फिर मोटरसाइकिल ठीक कराकर वह 20 किमी/घ की रफ़्तार से स्कुल पहुँचता है, तो उसकी औसत चाल क्या है ?
हल :- औसत चाल यदि a किमी/घ , b किमी/घ तथा c किमी/घ हो तो परन्तु हर स्थिति में दुरी समान हो तो औसत चाल = किमी/घ होगी .
इसी सूत्र की मदद से हम इस प्रश्न को हल करें तो

अनुपात और समानुपात 3

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RAJESH THAKUR