Saturday, December 22, 2018
Tuesday, December 18, 2018
Thursday, December 6, 2018
Thursday, November 8, 2018
Tuesday, November 6, 2018
Tuesday, October 30, 2018
Friday, October 26, 2018
Tuesday, October 16, 2018
गणित ओलिंपियाड की दुनिया
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Tuesday, October 2, 2018
Tuesday, September 25, 2018
Thursday, September 13, 2018
गणित ओलिंपियाड परीक्षा की तैयारी कैसे करें
परीक्षा की तैयारी कैसे करें ?
गणित के क्षेत्र में विविधता और विशालता का अनुभव करना हो तो आपको एक बार ओलिंपियाड की परीक्षा देनी चाहिए या इसमें पूछे जाने वाले प्रश्नों को एक झलक देखना चाहिए. परीक्षा की तैयारी की योजना प्रत्येक छात्र के ज्ञान और उसके द्वारा पढ़े जाने वाले पुस्तक पर निर्भर करता है. यदि आप ओलिंपियाड की तैयारी करना चाहते है तो इसका साफ अर्थ यही है की आप इस क्षेत्र में अपना एक मक़ाम हासिल करने के इच्हुक हैं.
विद्यालयी स्तर पर SOF , सिल्वर ज़ोन, इत्यादि संस्थाओं द्वारा ली जाने वाली परीक्षा सीबीएसई, ICSE, राज्य स्तरीय बोर्ड के सिलेबस पर आधारित होते हैं. इसके लिए आप NCERT की पुस्तक या कुछ सहायक पुस्तक जिनमे विस्तार से ऐसे प्रश्न जो परीक्षा में पूछे जाते हैं का समावेश हो बेहद जरुरी है. यही नहीं MTG, DISHA जैसी कई प्रकाशन संस्थाए भी इस तरह की पुस्तक निर्माण करती है जो आपको करना चाहिए. इसके अलावा आप विगत वर्षो में परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रश्नों को देखें और उन्हें हल करने का प्रयास करें. इन्टरनेट पर कई वेबसाइट आपको ऑनलाइन एग्जाम या मोक टेस्ट की सुविधा निशुल्क या बेहद कम खर्चे में उपलब्ध कराती है आप इसका इस्तेमाल भी कर सकते है.
PRMO/RMO/INMO/IMO जैसी परीक्षा के लिए आपकी तैयारी का स्तर काफी अच्छा होना चाहिए. PRMO की परीक्षा का स्तर थोडा ठीक रहता है और यह एक बहुविकल्पीय परीक्षा है जहाँ आपकी गणित की आधारभूत समझ, तार्किक योग्यता, पूछे जाने वाले विषयों पर ठोस जानकारी आपको अगले स्तर यानि RMO लेवल तक ला सकती है और यहाँ से शुरू होती है असली लड़ाई जिसमे प्रत्येक कदम बढ़ाने के लिए आपको अपनी सबल पक्ष पर नियंत्रण आवश्यक है.
RMO की परीक्षा में आपका प्रश्न सीधे सीधे आपकी पुस्तक की प्रश्नावली से नहीं आता है बल्कि इसमें पूछे जाने वाले प्रश्न एक या एक से अधिक अध्यायों के संकल्पनाओं (कांसेप्ट) पर आधारित होते हैं. यहाँ तक की आपको बीजगणित के प्रश्नों को हल करने में ज्यामिति , ज्यामिति के प्रश्नों के लिए त्रिकोणमिति , इत्यादि के सिद्धांतो की जरूरत पड़ सकती है. अतः सबसे पहली सलाह – कक्षा 8 से 10 तक के सभी तथ्य , सूत्र, ज्यामिति प्रमेय आपको कंठस्थ होने जरुरी है और यही आपकी सबसे बड़ी पूंजी साबित होगी. परीक्षा का स्तर हर चरण में कठिन होना शुरू हो जाता है और यह विल्कुल जरुरी नहीं है की आप 6 प्रश्नों को हल करने में उलझे. यह मान ले की 6 में से 6 प्रश्नों को हल करना एक कठिनतम कार्य है और ऐसा कर पाना बेहद मुश्किल है अतः आप इसके सिलेबस को देखते हुए यह पता लगाने की कोशिश करें की इनमे से कौन सा आपका पसंदीदा क्षेत्र है. कई छात्र ज्यामिति अच्छा कर लेते है पर उन्हें अलजेब्रा में दिक्कत होती है तो कोई नंबर थ्योरी में अच्छी पैठ रखता है. जरूरत है आपको अपनी सबल पक्ष को जानने की. ज्यामिति के प्रश्नों की संख्या ऐसे परीक्षा में सबसे अधिक होती है और 2 प्रश्न ज्यामिति से पूछे जाते रहे है अतः यदि आपने इसकी गहन अध्ययन का मन बना लिया तो आपने आधी जीत हासिल कर ली. combinatorics के प्रश्न तार्किक योग्यता पर आधारित होते है और इनमे आपकी प्रारंभिक ज्ञान का स्तर, विषय पर आपकी पकड़ को देखा जाता है. इस विषय को आप कम मेहनत में अधिक अंक लाने वाले क्षेत्र में शामिल कर सकते है. नंबर थ्योरी के प्रश्न – विभाजन , अनुरूपता इत्यादि पर प्रश्न भी काफी रोचक होते है जिसे आप अपने सबल पक्ष के रूप में ले सकते हैं.
प्रमुख बिंदु:-
1. सिलेबस के बारे में जानकारी अवश्य रखें और वेबसाइट पर नियमित रूप से इसका पठन- पाठन करें
2. प्राथमिक स्तर (PRMO/ iOM) पर ऐसे प्रश्न जिसे सीधे आप हल कर सकते हैं में वैदिक गणित के सूत्र आपको वर्ग, वर्गमूल, धन, घनमूल. द्विघात समीकरण इत्यादि निकालने में सहायता कर सकते है. इसके अलावा कुछ शोर्ट ट्रिक भी जानने की आपको आवश्यकता पड़ेगी.
3. मुख्य परीक्षा के पूर्व आप ऑनलाइन टेस्ट देकर अपनी तैयारी का आकलन कर सकते हैं
क्या पढ़ें :-
बाजार और इन्टरनेट जानकारी से भरी पड़ी है. बाजारों में ओलिंपियाड के नाम पर आपको दुकानों में या ऑनलाइन भी पुस्तकों की विशाल रेंज मिल सकती है जिसका उपयोग आप अपनी सुविधा के हिसाब से कर सकते हैं. इसके अलावा यहाँ दी गयी पुस्तकों को अवश्य पढ़े और अपनी तैयारी में एक नई ताजगी महसूस करें
· प्रॉब्लम प्राइमर फॉर ओलिंपियाड
· An Excurssion in Mathematics
· Plane Geometry/ Trignometry by S L Loney
· Problem solving Strategy – Arthur Engel
· A lecture notes on Mathematical olympiad – Xu Jiang
· Geometry by Halls and Steven
· Algebra by Hall and Knight
· Challanges and Thrill in Pre College Maths
तो हो जाइये तैयार गणित के क्षेत्र में उड़ान के लिए. परीक्षा आपकी कमियों को जांचने का एक अनोखा माध्यम है और इसी को पूरा करने के लिए प्राइवेट संस्थाओं द्वारा नित नए परीक्षा के बारे में आप सुनेंगे पर सबका लक्ष्य आपकी गणितीय योग्यता में बढ़ोतरी करना है. इनमे से सभी परीक्षा चाहे वो सरकारी संस्थाओं से आयोजित हो रही हो या प्राइवेट से , परीक्षा में पूछे प्रश्नों का स्तर आपकी कक्षा के सिलेबस से उच्च स्तर का होता है. निरंतर तैयारी ही आपकी सफलता की कुंजी है और एक अवसर है आपको पहचान दिलाने की.
डॉ राजेश कुमार ठाकुर
गणित ओलिंपियाड की जानकारी
गणित ओलिंपियाड की दुनिया
गणित हमेशा से ही कौतुहल का विषय रहा है किसी की
नजर में यह एक कठिनतम विषयों में से एक है तो कोई इसकी सुन्दरता का दीवाना. गणित
में दिलचस्पी रखने वाले प्रत्येक छात्र इस क्षेत्र में कुछ न कुछ करना चाहते है और
ओलिंपियाड इसी श्रेणी में एक ऐसा मार्ग है जिसमे कठिन डगर पर चल छात्र अपनी गणितीय
योग्यता का परिचय समाज और देश को देता है.वर्तमान
समय मे छात्रों और अभिभावकों के बीच ओलिंपियाड परीक्षा की होड़ मची है और
शायद इसी जरूरत को पूरा करने के लिए सरकारी एजेंसी ही नही अपितु देश के कई पुस्तक
प्रकाशन कम्पनियों ने भी इस क्षेत्र में आज अपना सिक्का जमा लिया है. इनमे से कुछ
परीक्षा का स्तर तो काफी अच्छा रहता है और कुछेक कंपनिया सिर्फ खोखले बादे कर और
कुछ इनाम का लालच दे अभिभावकों से पैसे ऐठ लेतें है. मकसद जो भी हो ऐसी परीक्षा
में बैठने वाले प्रत्येक छात्र गणित के प्रति बेहद संवेदनशील, काफी मेहनती और गणितीय
प्रतिभा का धनी होता है.
सरकारी स्तर पर आयोजित
ओलिंपियाड
अ) PRMO/RMO/INMO/IMO:- भारत में यूँ तो वर्ष
1989 से प्रत्येक वर्ष होमी भाभा सेंटर फॉर साइंस एजुकेशन के तरफ से गणित
ओलिंपियाड जिसे इनमो (INMO) के नाम से जाना जाता है , का आयोजन होता है परन्तु इनमो
के ओलिंपियाड में भाग लेने के पहले प्रतियोगियों को दो चरणों से गुजरना पड़ता है.
जिनमे प्री-रीजनल (PRMO) – (जहाँ 2 घंटा 30 मिनट में तकरीबन 30 प्रश्नों को ओएमआर
सीट पर करना होता है) और रीजनल लेवल
(इसमें 3 घंटे में 6 प्रश्न हल करने होते है) के दो परीक्षा प्रमुख है. इन दोनों
लेवल को पास करने के पश्चात् छात्रों को तीसरे स्तर की परीक्षा में शामिल होने का
मौका मिलता है. यह परीक्षा जनवरी माह के तीसरे रविवार को देश के 30 केन्द्रों पर
आयोजित की जाती है जहाँ रीजनल लेवल पास कर के आये तकरीबन 900 छात्र अपने भाग्य को
आजमाते है और तकरीबन 35 छात्रों का अंतिम रूप से चयन किया जाता है जिन्हें होमी
भाभा केंद्र मुंबई में 1 माह तक अंतर्राष्ट्रीय गणित ओलिंपियाड (IMO) के लिए तैयार
किया जाता है जिनमे से मात्र छह छात्रो को अंतिम रूप से चयन किया जाता है जो IMO
में भाग लेने के पहले एक बार दुबारा 10 दिनों की कठिन प्रतियोगी वातावरण में
तैयारी को अंतिम रूप देते है और अंतर्राष्ट्रीय स्तर पर भारत का प्रतिनिधित्व करते
हैं.
सिलेबस :- परीक्षा में पूर्णांक , ज्यामिति,
द्विघात समीकरण, त्रिकोंमिति , निर्देशांक ज्यामिति, क्रमचय और संचय, असमीकरण,
प्रायिकता, सरल रेखा का समीकरण, बहुपद का गुणनखंड और साहचार्य (combinatorics) प्रमुख हैं.
परीक्षा में 6 प्रश्न पूछे जाते है. यूँ तो कैलकुलस
के प्रश्न नहीं पूछे जाते परन्तु पूछे गये प्रश्नों में कैलकुलस का प्रयोग अवश्य
होता है.
ब) ग्रुप मैथमेटिक्स ओलिंपियाड:- वर्ष 1997 से
सीबीएसई प्रत्येक वर्ष कक्षा 9 से 11 में पढने वाले छात्रों के लिए अक्टूबर से
दिसम्बर के बीच ग्रुप मैथमेटिक्स ओलिंपियाड का आयौजन करती है. इनमे 3 घंटे में 6
प्रश्न पूछे जाते है जिनका स्तर स्नातक प्रथम वर्ष तक का होता है और प्रत्येक
कक्षा (9-11) के लिए एक ही प्रश्न पत्र होते हैं.
प्राइवेट संस्थान
द्वारा आयोजित ओलिंपियाड
प्राइवेट संस्थानों द्वारा आयोजित गणित
ओलिंपियाड यूँ तो प्राथमिक कक्षा से शुरू हो जाते है और इनकी गुणवत्ता भी ठीक सी
रहती है पर ऐसी परीक्षाओं से मूलतः आप अपनी गणितीय योग्यता में बढ़ोतरी कर सकते है
परन्तु इनमे जीते हुए स्वर्ण, रजत या ताम्र पदक का राष्ट्रीय या अंतर्राष्ट्रीय
स्तर पर कोई महत्व नही होता है. पर इसका मतलब ये कतई नहीं की इन परीक्षाओं में
पूछे गए प्रश्नों का कोई मानदंड नही है. आपकी योग्यता में ऐसे परीक्षा काफी मदद
करते है और निसंदेह ऐसी परीक्षाओं से आपकी गणितीय प्रतिभा भी निखरती है.
अ) एसेट(ASSET):- यह आपकी गणितीय परख को जांचने
के लिए आयौजित की जाती है और इसका मुख्य उद्देश्य विषय पर आपकी पकड़ को देखना है.
ASSET का अर्थ है Assessment of Scholastic Skills through Educational Testing.
इसमें वस्तुनिष्ठ तरीके के प्रश्न पूछे जाते हैं. यह परीक्षा कक्षा 3 से 10 तक के
छात्रों के लिए आयोजित की जाती है.
स) इंटरनेशनल ओलिंपियाड ऑफ़
मैथमेटिक्स:- यह परीक्षा तीन चरणों में आयोजित की जाती है. प्रथम चरण में कक्षा 1
से 12 तक के कोई भी छात्र भाग ले सकते है. दुसरे चरण में वही छात्र हिस्सा ले सकते
है जिन्होंने प्रथम चरण में टॉप 1000 रैंक हासिल किया हो. कक्षा 6 से 12 तक के ऐसे
छात्र जिन्होंने द्वितीय चरण में प्रथम रैंक
हासिल किया हो तीसरे चरण
में परीक्षा में भाग ले सकते हैं. SOF द्वारा आयोजित इस परीक्षा में विभिन्न
स्तरों पर पुरस्कार में सर्टिफिकेट के अलावा कुछ पैसे भी दिए जाते हैं. परीक्षा
में पूछे जाने वाले प्रश्नों का स्तर कक्षा के स्तर से 1 या 2 कक्षा उपर के होते
हैं.
द) NIMO:- नेशनल इंटरैक्टिव
मैथमेटिक्स ओलिंपियाड , Eduheal फाउंडेशन द्वारा आयौजित की जाती है जिसमे गणित ,
विज्ञानं और मानसिक योग्यता सम्बन्धी प्रश्न पूछे जाते हैं जिसे कक्षा 5 से 12 तक
के छात्र दे सकते है
र) iOM :- सिल्वर जॉन कंपनी
द्वारा आयोजित इंटरनेशनल मैथमेटिक्स ओलिंपियाड कक्षा 1 से 12 तक के बच्चों के लिए
एक ज्ञान परख परीक्षा है जिसमे तीन चरणों में परीक्षा आयोजित की जाती है जो
क्षेत्रीय से अंतर्राष्ट्रीय स्तर तक के होते हैं.
ख) NMTC:- चिन्नई स्थित
एसोसिएशन ऑफ़ मैथमेटिक्स टीचर्स ऑफ़ इंडिया द्वारा कक्षा 5 से स्नातक स्तर पर बड़े ही
सस्ते कीमत पर आयोजित होने वाली एक परीक्षा है जिसमे छात्रों को गणित की अच्छी
जानकारी होनी आवश्यक है. इस परीक्षा का स्तर भी काफी अच्छा होता है.
(अगले अंक में )
डॉ राजेश कुमार ठाकुर
सेक्रेटरी , आल इंडिया
रामानुजन क्लब
56 पुस्तक, 500 लेख, 300
ब्लॉग, 10 रिसर्च पेपर, दर्जनों कविता प्रकाशित
Monday, September 10, 2018
Sunday, September 2, 2018
Wednesday, August 22, 2018
Tuesday, August 21, 2018
Tuesday, August 14, 2018
Tuesday, July 31, 2018
Monday, July 23, 2018
लघुत्तम और महत्तम समापवर्तक - भाग -२
लघुत्तम और महत्तम समापवर्तक
उदाहरण:- दो संख्याओं का योग 121 है . यदि उसके ल.स. तथा म.स. का योग और अंतर
क्रमशः 341 तथा 319 हो तो संख्या बताएं?
हल :- यदि ल.स. = L तथा म.स. = H
L + H = 341
L – H = 319
L = 330 , H = 11
संख्या अपने महत्तम का गुणनफल होंगी . माना संख्या क्रमशः 11 x 5 = 55 , 11 x
6 = 66 होगी
उदाहरण :- दो संख्याओं का औसत 162 है तथा उसका म.स. 12 और ल.स. 600 है तो
संख्याये बताएं
हल:- माना संखाएं x तथा y है
अत: (x + y)/2 = 162
x + y = 324
संख्याओं का गुणनफल (xy) = ल.स. × म.स. = 600 × 12 = 7200
(x – y)2 = (x+y)2 – 4xy
= (324)2 – 4× 7200
x – y = 276
अतः y = 300 , x = 24
उदाहरण :- 7 का वह छोटे से छोटा गुणज क्या है जिसे 4 या 12 या 16 से भाग देने
पर शेष 3 बचे
हल :- ल.स.(4,12,16) = 48
अभीष्ट संख्या = 48m + 3 जो 7 का गुणज होगी
m = 3 रखने पर प्राप्त परिणाम = 147
उदाहरण :- वह छोटी से छोटी संख्या बताएं जो 8, 9, 12, 15 , 18 से विभाजित है
और एक पूर्ण वर्ग है
हल :- 8, 9, 12, 15 , 18 का ल.स. = 360
360 का गुणज जो एक पूर्ण वर्ग है = 360 × 10 = 3600
उदाहरण :- लम्बी विधि से भाग देने वाले एक प्रश्न में भाज्य 2614, 5239 , 3608
है तथा प्रथम से अंतिम लगातार शेषफल क्रमशः 523, 360 , 123 है तो भागफल और भाजक
बताएं
हल :- माना भाजक = y तथा इसे क्रमशः a, b, c से गुणा किया जाता है
भागफल = 100a + 10b + c
अतः y x a = 2614 – 523 = 2091
y x b = 5239 – 360 = 4879
y x c = 3608 -123 = 3485
अतः भाजक इन्ही संख्याओं का म.स. होगा.
म.स.( 2091, 4879, 3485) = 697
अतः भाजक y= 697
, इसलिए a = 2091/697 = 3
b = 4879/ 697 = 7
c = 3485/697 = 5
भागफल = 100a + 10b + c
= 100 x 3 + 10 x 7 + 5 = 375
उदाहरण:- दो संख्याओ का योग 105 है तथा उनका अंतर 3 है यदि उसका म.स. 3 हो तो
ल.स. बताएं ?
हल :- माना संख्याएं a और b मिल जायेगा
a + b = 105
a – b = 3
a = 54 तथा b = 51
ल.स. = दो संख्याओं का गुणनफल
म.स.
=
54 x 51
3
= 918
उदाहरण :- एक पत्थर की धेरी को 21 पथ्थरों के भागों में बांटा जा सकता है. यदि
उन्हें 16, 20, 25 , 45पथ्थरों के भाग में बांटा जाता तो प्रत्येक भाग में 3 पथ्थर
शेष बचते , ढेरी में कितने पत्थर होंगे?
हल :- ल.स. (16, 20, 25 , 45) = 3600
संख्या = 3600 x 1 + 3 = 21 से विभाज्य नहीं है
3600 x 2 + 3 = 7203 ; 21 से विभाज्य है
ढेरी में पत्थर = 7203
उदाहरण :- यदि दो व्यंजकों का म.स.xy है और ल.स. x2y2
है तथा एक व्यंजक xy2 है तो दूसरा व्यंजक होगा
हल :- ल.स. = दो संख्याओं का गुणनफल
म.स.
अर्थात ल.स. x म.स. = दो संख्याओं का
गुणनफल
xy × x2y2 = दूसरी संख्या
xy2
= x2y
Tuesday, July 10, 2018
Tuesday, June 26, 2018
Wednesday, June 13, 2018
Thursday, June 7, 2018
Saturday, June 2, 2018
Saturday, May 19, 2018
Tuesday, May 8, 2018
Monday, April 2, 2018
72 का नियम
72 का नियम
साधारण व्याज पर ऐसे सवाल आपने काफी बार हल किया होगा :-
कोई धन 12% साधारण व्याज पर कितने बर्ष में दुगुना हो जायेगा. 72 का नियम ऐसे
सवालों को चुटकियों में हल कर सकता है पर इसमें उत्तर सटीक आने की संभावना पूरी
नहीं होती परन्तु इस नियम से आये उत्तर को आप वास्तविक परिणाम के विल्कुल करीब
पाएंगे. समस्या दर के घटने के साथ अधिक होती है . यदि व्याज दर अधिक हो तो इसका
उत्तर अपेक्षित रूप से सही आता है.
उदाहरण :- कोई धन यदि 10% वार्षिक व्याज पर आपने बैंक में
रखा है तो यह 72 / 10 = 7.2 वर्षों में दुगुनी हो जाएगी .
यदि आप अपना धन 5 वर्ष में दुगुना करना चाहते है तो व्याज
की दर 72 / 5 = 14.4 वर्ष अर्थात लगभग 15 वर्षों में दुगुना हो जायेगा .
उपर की तालिका से आप देख पा रहे हैं की जैसे जैसे व्याज दर
बढ़ता जा रहा है वास्तविक उत्तर और 72 के नियम से प्राप्त उत्तर का अंतर कम हॉता जा
रहा है .
डॉ राजेश कुमार ठाकुर
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गणित और रामायण
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