वैदिक गणित - एकाधिकेन पूर्वेण - भाग -2

एकाधिकेन पूर्वेण

मित्रों, पिछले अंक में आपने एकाधिकेन पूर्वेण द्वारा भाग देने की प्रक्रिया को समझा. उम्मीद है आपने इस प्रक्रिया द्वारा कुछ और सवाल हल करने की कोशिश की होगी और सफलता पाई होगी. पिछले अंक को आगे बढ़ाते हुए इसी सूत्र के कुछ अन्य अनुप्रयोग देखते हैं.

उदाहरण :- 1/7 को दशमलव आवर्त में बदलें

हल :- यहाँ हर 7 है अतः हर 9 बनाने के लिए अंश और हर को 7 से गुणा करते हैं

1  = 1 x 7  = 7

7    7 x 7    49

चूँकि हर 7 है अतः आवर्त 6 अंको तक रहेगा.9 के पूर्ववर्ती अंक 4 है अतः एकाधिक 4 + 1 = 5

पहला पद :- 7            

दूसरा पद:- ₃57 35 (7 × 5 = 35; 3 को शेष रखा और 5 को उत्तर में लिखा )

तीसरा पद :-  ₂857 (5 X 5 =25, +3 = 28)           चौथा पद:-  ₄2857 (8 X 5 =40, +2 = 42)

पांचवा पद :- ₁42857 (2 X 5 =10, +4 = 14)         छठा पद:- ₂142857 (4 X 5 =20, +1 = 21)

चूँकि आवर्त पीरियड 6 है ,

अतः 1/7 = 0.142857 -----

उपरोक्त उदाहरण सिर्फ आपको ये समझाने के लिए दिया गया है की अगर हर 9 ना हो तो किसी संख्या के साथ गुणा कर आप हर का ईकाई अंक 9 बना सकते हैं.मसलन यदि हर का ईकाई अंक 3 हो तो आप अंश और हर में 3 से गुणा कर सकते हैं. 7 हो तो 7 से गुणा कर सकते हैं

¹ = ^{1 × 7   = 7`                                                            4  =  4 × 3    = 12}

^{17   17 × 7    119                                           13    13 × 3       39}

अन्य स्थिति के लिए सूत्र का प्रयोग थोडा बदल कर किया जा सकता है. जिसकी चर्चा किसी अंक में आपको देखने को मिलेगा.

इस सूत्र का दूसरा अनुप्रयोग वर्ग करने के लिए किया जाता हैं जब वर्ग की जाने वाली संख्या का ईकाई अंक 5 हो. वैदिक गणित का यह सूत्र कहता है की अगर ईकाई अंक 5 हो तो ईकाई को छोड़ शेष संख्या को उसके एकाधिक से गुणा करें और अंत में 5 का वर्ग 25 आगे लिख दें

उदाहरण:- (35)² = ?

हल :- 3 का एकाधिक = 3 + 1 = 4

3 को उसके एकाधिक से गुणा करने पर = 3 x 4 = 12

5 का वर्ग = 25

(35)² = 1225

उदाहरण:- (55)² = ?

हल :- 5 का एकाधिक = 5 + 1 = 6

5 को उसके एकाधिक से गुणा करने पर = 5 x 6 = 30

5 का वर्ग = 25

(55)² = 3025

उदाहरण:- (75)² = ?

हल :- 7 का एकाधिक = 7 + 1 = 8

7 को उसके एकाधिक से गुणा करने पर = 7 x 8 = 56

5 का वर्ग = 25

(75)² = 5625

उदाहरण:- (95)² = ?

हल :- 9 का एकाधिक = 9 + 1 = 10

9 को उसके एकाधिक से गुणा करने पर = 9 x 10 = 90

5 का वर्ग = 25

(95)² = 9025

उदाहरण:- (105)² = ?

हल :- 10 का एकाधिक = 10 + 1 = 11

10 को उसके एकाधिक से गुणा करने पर = 10 x 11 = 110

5 का वर्ग = 25

(105)² = 11025

आपने देखा की वैदिक गणित के सरल सूत्रों को सहायता से आप गणना को कैसे सरलता से हल कर सकते है तो इंतजार कीजिए अगले अंक का जहाँ आपसे किसी और सूत्र पर चर्चा करेंगे.

डॉ राजेश कुमार ठाकुर

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वैदिक गणित - एकाधिकेन पूर्वेण - भाग - 1

वैदिक गणित

मित्रों, वैदिक गणित 16 सूत्रों और 16 उपसुत्रों पर आधारित एक ऐसी प्रणाली है जिसमे अंकगणित, बीजगणित, नियामक ज्यामिति , कैलकुलस जैसे गणित के जटिलतम शाखाओं के जटिलतम सवालों को पलक झपकते करने का रहस्य छिपा हुआ है. इसके सूत्रों के खोज और इसके वेदों से सम्बन्ध पर चर्चा करना निरर्थक है परन्तु जगद्गुरु स्वामी भारती कृष्ण तीर्थ जी द्वारा लिखी पांडुलिपि को 1965 में एक पुस्तक के रूप में प्रकाशित करवाया गया जिसे वैदिक गणित के रूप में ख्याति मिली. हमें भारत के गणित और इसकी प्राचीन परम्परा के बारे में पता तो है पर एक कहावत है – घर का जोगी जोगडा, आन गाव का सिद्ध . हमारी हालत भी कुछ ऐसी ही है. पुरे विश्व को गणित में शून्य, दाशमिक प्रणाली, द्विघात समीकरण का हल, अपरिमेय संख्याओं का मान, पाइथागोरस प्रमेय से पूर्व शुल्व सूत्र में भारत ने कर्ण, आधार और लम्ब का सम्बन्ध स्थापित किया. मेरु प्रस्तार जिसे पास्कल त्रिभुज कहते है इत्यादि खोज करने के बावजूद हम विदेशी नियमों और सिद्धांतो के गुलाम बने हुए है. आइये भारतीय गणित की इसी परम्परा को आगे बढ़ाते हुए कुछ तरीकों पर चर्चा करना आरम्भ करते हैं . आशा है ये श्रृंखला आपको गणित के और करीब लाने में मदद करेगी और हमारा साझा प्रयास भारत को गणित के क्षेत्र में आगे ले जाने में सहायक होगा.

सूत्र :- एकाधिकेन पूर्वेण

एकाधिकेन पूर्वेण का अर्थ है पहले से एक अधिक. इसका अर्थ ये है की 1 का एकाधिक 1 + 1 = 2 होगा , 3 का एकाधिक 3 + 1 = 4 होगा. इस सूत्र का प्रयोग वर्ग निकालने में या आवर्ती दशमलव के भाग देने में काफी सहायक होता है. इस अंक में हम एक भाग द्वारा इस सूत्र को समझने का प्रयास करेंगे.

उदाहरण:- 1/19 को हल करें

हल :- यदि किसी भिन्न का हर 19, 29, 39, ---- हो तथा अंश 1 हो ( ये जरुरी नहीं है) को जब आप भाग देंगे तो आपका उत्तर एक आवर्ती दशमलव में आएगा. यहाँ हर 19 है अतः आवर्ती दशमलव 19 – 1 = 18 अंक तक रहेगा.

19 में 9 से पूर्व 1 है और 1 का एकाधिक 1 + 1 = 2 होगा. आइये इसी एकाधिक का प्रयोग कर बिना मुश्किल भाग दिए इस प्रश्न को हल करें. यहाँ हमारा गुणक अंक 2 है. सबसे पहले अंश में 1 लिखें और गुणक से गुणा करते रहें

पहला पद : - 1            दूसरा पद : 21( 1 को गुणक 2 से गुणा कर उत्तर पीछे लिखें)

तीसरा पद : - 421 ( 2 × 2 = 4)          चौथा पद :- 8421 ( 4 × 2 = 8)   

पांचवा पद :- ₁68421 ( 8 × 2 = 16; 6 को लिखा गया है और शेष 1 को नीचे लिखा है )

छठा पद:- ₁368421 (6 X 2 =12, +1 = 13 का 3 लिखा गया है और शेष 1 को नीचे लिखा है)

सातवां पद:- 7368421 (3 X 2, = 6 +1 = 7)          आठवां पद:- ₁47368421 (7 X 2 =14)

नौवा पद : 947368421 (4 X 2, = 8, +1 = 9)        दश्वा पद :- ₁8947368421(9 X 2 =18)

ग्यारहवां पद :- ₁78947368421(8 X 2 =16,+1=17)   

बारहवाँ पद:- ₁578947368421(7 X 2 =14,+1=15)

तेरहवां पद :- ₁1578947368421(5 X 2 =10,+1=11)

चौदहवां पद:- 31578947368421(1 X 2 =2,+1=3)

पन्द्रहवां पद :-  631578947368421(3 X 2 =6)

सोलहवां पद:- ₁2631578947368421(6 X 2 =12)

सत्रहवां पद:- 52631578947368421(2 X 2 =4,+1=5)

अठारहवां पद:- ₁052631578947368421(5 X 2 =10)

अठारहवां पद के बाद अंकों की पुनरावृति शुरू हो जाएगी अतः पुरे उत्तर को आप एक लाइन में लिखने का प्रयास करें

1 / 19 = 0.052631578947368421

यहाँ आपकी सुविधा के लिए पुरे प्रक्रिया को पुरे चरणों में दिखाया गया था जिसे अभ्यास के साथ साथ  आप एक लाइन में करते हुए वैदिक गणित के सूत्रों के रहस्यों से पर्दा उठा सकते हैं. इसी कड़ी में आप 1/29, 1/39 को हल करने का प्रयास करें. अगले अंक में नये उदाहरणों और सूत्रों पर चर्चा करेंगे.

-डॉ राजेश कुमार ठाकुर

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कक्षा 10 के लिए वस्तुनिष्ठ प्रश्न - वास्तविक संख्या -

मित्रों
सीबीएसई अगले वर्ष से गणित में 20 अंकों का वस्तुनिष्ठ प्रश्न पूछने जा रही है

इसी श्रृंखला में मेरे ब्लॉग पर प्रत्येक अध्याय के वस्तुनिष्ठ प्रश्नों को अंग्रेजी में पढने का अवसर आपको मिलेगा जिसे आप दिए गए लिंक पर पढ़ सकते हैं

https://mathspearl.blogspot.com/


इस लिंक पर आपको वास्तविक संख्या पर 4 ब्लॉग मिलेंगे जिसमे कुल मिलकर ४० प्रश्नों को सम्मिलित किया गया है .


डॉ राजेश कुमार ठाकुर