अनूपात और समानूपात

अनुपात और समानुपात - १

अनुपात और समानुपात

अनुपात और समानुपात पर कई प्रश्न परीक्षा में पूछे जाते रहे हैं और ऐसे प्रश्न इस अध्याय के अलावा भी कई अन्य अध्याय जिसमे अनुपात शब्द का प्रयोग हुआ हो वहां भी आपको प्रश्न को हल करने में सहायक होंगे. मैं आशान्वित हूँ की पिछले कई अंको में आपने गणित के प्रश्नों को हल करने की त्वरित विधि का अपने दैनिक अभ्यास में समायोजन कर लिया होगा और इससे आप अपनी गणितीय गणना को और शीघ्र कर पाने में सफल हो रहे होंगे.

अनुपात :- यह एक ऐसी संख्या है जो दो सजातीय राशियों के बीच में सम्बन्ध स्थापित करता है. यदि a और b दो सजातीय राशि है तो a और b का अनुपात a : b होता है और इसमें a को प्रथम पद (antecedent) और b को उत्तर पद (consequent) कहते हैं. इसके लिए : चिन्ह का प्रयोग करेंगे.
समानुपात:- जैसा आप देख रहे हैं की यह शब्द सम और अनुपात के संयोग से बना है. सम का अर्थ समान और अनुपात यदि हम यूँ कहें कि – 5 : 10 = 15 : 30 है तो इसे हम समानुपात कहेंगे और इसके लिए : : चिन्ह का प्रयोग करेंगे; अर्थात 5 : 10 : : 15 : 30. यहाँ 5 और 30 को बाहरी राशी ( Extremes) तथा 10 और 15 को माध्यमिक राशियाँ ( Means) कहा जाता है.

अनुपात और समानुपात सम्बंधित कुछ नियम:-

• यदि a, b और c वितत अनुपात में हो तो मध्य अनुपात b^2 = a x c होगा
• a और b का तीसरा समानुपात (Third Proportional) = b^2 / a होगा
• a और b का विलोमानुपात b : a होगा
• a और b का वर्गानुपात a^2 : b^2 होगा
• a और b का तिहरा या धन अनुपात a^3 : b^3 होगा
• यदि a : b : : c : d हो तो a x d = b x c होगा
• यदि अनुपात a : b : c हो तो प्रथम राशी = ak, दूसरी राशी = bk और तीसरी राशी = ck होगा

• यदि अनुपात भिन्नात्मक हो जैसे – 1/a : 1/b : 1/c तो सबसे पहले हर का लघुत्तम लें और प्रत्येक भिन्न अनुपात को इससे गुणा करें जिससे एक सरल अनुपात में बदला जा सके. मान ले की अनुपात ½ : 1/3 : 1/6 है तो सबसे पहले हर 2, 3 और 6 का लघुत्तम निकालें और प्रत्येक भिन्न के साथ गुना करें. लघुत्तम = 6, अनुपात ½ x 6 : 1/3 x 6 : 1/6 x 6 = 3 : 2 : 1

• यदि

हो तो इसका अर्थ है की राशी a : b : c होगा .
आइये कुछ उदाहरण की मदद से हम इसे समझने का प्रयास करें.

प्रश्न :- 2:3, 5:6 , 8:9 का मिश्रित अनुपात बताएं
हल :- मिश्रित अनुपात निकालने के लिए प्रथम अनुपात को गुना : दुसरे अनुपात का गुना अतः हल =
2 x 5 x 8 : 3 x 6 x 9 = 80 : 162

प्रश्न :-5400 रु. को A, Bतथा C में इस प्रकार बांटे की A/2 = B/3 = C/4 हो तो B का हिस्सा बताएं
हल :- A/2 = B/3 = C/4 = k से A = 2k, B = 3k तथा C = 4k
B का भाग = 3/2+3+4 x 5400 = 1800 रु.

प्रश्न:- 740 रु. को A, B तथा C में क्रमशः ¼ : 1/5 : 1/6 के अनुपात में बांटा जाये तो B का हिस्सा क्या होगा?
हल :- हमने ऊपर बताया कि यदि अनुपात भिन्न में हो तो पहले हर का लघुत्तम निकाल सबसे गुना करना पड़ता है.
A : B : C = ¼ X 60 : 1/5 X 60 : 1/6 X 60 = 15 : 12 : 10
B का भाग = 12 / (15 + 12 + 10) X 740 = 240 रु.

मित्रों अगले अंक में ढेर सारे प्रश्नों और उसे हल करने की सूक्ष्म विधि पर चर्चा करेंगे तब तक आप नियमो को ध्यान से पढ़े और आत्मसात करें .

डॉ. राजेश कुमार ठाकुर

चक्र् वृद्धि व्याज

साधारण व्याज २