सरलीकरण

सरलीकरण

सरलीकरण एक महत्वपूर्ण अध्याय है जिसमे अंकगणित और बीजगणित के प्रश्न जो कुछेक सूत्रों पर आधारित होते है या किसी नियम विशेष पर कार्य करते हैं प्रतियोगिता परीक्षा में पूछे जाते रहें है. किसी व्यंजक अथवा किसी जटिल भिन्न को साधारण भिन्न अथवा संख्या में बदलने की क्रिया को सरलीकरण कहते हैं. अगर हमें किसी भी भिन्न के सरलीकरण का नियम ज्ञात न हो तो हमें उसका उत्तर पता लगाने में कठिनाई होती है अतः सरलीकरण के नियमों से ही हमें यथोचित उत्तर प्राप्त होता है. इस अंक में हम सरलीकरण से सम्बंधित नियम को जानकर उसपर आधारित प्रश्नों को हल करने के तरीके पर चर्चा करेंगे.

1. VBODMAS नियम :- किसी दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए निम्नलिखित क्रम में क्रिया की जाती है.

V – VINCULUM – रेखा कोष्टक (–)
B – BRACKETS – कोष्टक - ( छोटा कोष्टक ) , { मध्यम कोष्टक }, [ बड़ा कोष्टक ]
O – OF – का
D – DIVISION – भाग - (÷)
M – MULTIPLICATION – गुणा – (×)
A – ADDITION – योग - (+)
S – SUBTRACTION – घटा - (–)
यह आवश्यक नहीं है की किसी प्रश्न में सभी चिन्ह मौजूद हों परन्तु सरलीकरण का क्रम ऐसा ही रहेगा.

2. MODULUS:- किसी वास्तविक संख्या ‘x’ का MODULUS या मापांक को हम इस प्रकार परिभाषित करते हैं-
| x | = x ; x > 0
= –x ; x < 0 अर्थात , | 5 | = 5 तथा |–5 | = –(–5) = 5 3. वितत भिन्न :- ऐसे भिन्न जो


के रूप में लिखा गया हो वितत भिन्न कहलाता है. इसे नीचे से ऊपर की दिशा में हल किया जाता है.

सरलीकरण में उपरोक्त नियम के अलावा निम्न बीजगणित के सूत्र का भी हमे उपयोग करने की आवश्यकता होती है जो यहाँ आपकी सुविधा के लिए लिखा जा रहा है, इनपर आधारित प्रश्नों को हम आगे हल करेंगे पर आपको इन सूत्रों को याद करने की जरुरत पड़ेगी तो आगे बढे तबतक आप इन सूत्रों को आत्मसात करें.


आइये कुछ उदाहरणों की सहायता से सवालों को हल करने की कोशिश करें

हल :- यहाँ जैसा की आप देख रहें है – रेखा कोष्टक , छोटी कोष्टक , मध्यम कोष्टक और बड़ी कोष्टक का प्रयोग किया गया है , VBODMAS के नियम से सबसे पहले आप रेखा कोष्टक का प्रयोग करेंगे फिर आपको कोष्टक में छोटी कोष्टक , मध्यम कोष्टक और बड़ी कोष्टक का प्रयोग क्रमशः करना पड़ेगा.
= n – [ n – (m+n) – { n – (n – m + n) } + 2m ]
= n – [ n – (m+n) – { n – (2n – m) } + 2m ]
= n – [ n – (m+n) – { n – 2n + m } + 2m ]
= n – [ n – (m+n) – { –n + m } + 2m]
= n – [ n – (m+n) + n – m } + 2m]
= n – [ n – m – n + n – m + 2m]
= n – n = 0
उदाहरण:- यदि x /y = 6 / हो तो x^2 – y^2/x^2 +y^2 का मान निकालें

हल :-
x^2 – y^2/x^2 +y^2 = x^2 / y^2 – y^2/ y^2 / x^2/ y^2 + y^2/ y^2
= (6 / 5)2 – 1
(6 / 5)2 + 1

उदाहरण :- यदि x(x + y + z) = 9 , y( x + y + z) = 16 ; z(x + y + z) = 144 हो तो x का मान निकालें
हल :- x(x + y + z) = 9 -------------- (1)
y( x + y + z) = 16 --------- (2)
z(x + y + z) = 144 ---------- (3)
तीनो समीकरणों को जोड़ने पर
(x + y + z ) ( x + y + z) = 9 + 16 + 144 = 169
(x + y + z) 2 = 169
x + y + z = 13
समीकरण 1 में x + y + z = 13 का मान रखने पर –
x(x + y + z) = 9
13 x = 9
x = 9/13

उदाहरण :- ( 28 –10 √3 )1/2 – (7 + 4 √3 )1/2
हल :- प्रथम पद = ( 28 –10 √3 )1/2
= ( 25 + 3 – 2 x 5 x √3)1/2
= { (5)2 + (√3)2 – 2 x 5 x √3)1/2 }
= { (5 - √3)2 }1/2
= 5 - √3
दूसरा पद
= (7 + 4 √3 )1/2
= (22 + (√3)2 + 2 x 2 x √3 ) 1/2
= { (2 + √3)2 }1/2
= 2 + √3
अतः ( 28 –10 √3 )1/2 – (7 + 4 √3 )1/2 = 5 - √3 + 2 + √3 = 7

उदाहरण :- 999 1/7 + 999 2/7 + 999 3/7 + 999 4/7 + 999 5/7 + 999 6/7 का मान निकालें
हल :- 999 (1/7 + 2/7 +3/7 + 4/7 + 5/7 +6/7 )
= 999 ( 6 x 7 ) = 999 x 3 = 2997
2 x 7
(यहाँ 1 + 2 + 3 + -- --- -- + n = n x (n + 1) / 2 सूत्र का प्रयोग किया गया है )



आपने देखा की सरलीकरण के सवाल के अंतर्गत भिन्न , घातांक , करनी के साथ साथ बीजगणित में भी आपकी पकड़ अच्छी होनी आवश्यक है अन्यथा आप इसे हल नहीं कर पायेंगे. अतः उपरोक्त सूत्र को आत्मसात करें और इस तरह के प्रश्नों को अधिक से अधिक संख्या में हल करने की कोशिश करें.


डॉ. राजेश कुमार ठाकुर