महत्तम समापवर्तक -२

पिछले अंक में आपने लघुत्तम पर आधारित सवालों को हल करने की पूर्णविधि और सूक्ष्म विधि के बारे में जाना और साथ ही लघुत्तम और महत्तम के बारे में जानकारी हासिल की . प्रस्तुत अंक में हम महत्तम और आधारित प्रश्नों को हल करना सीखेंगे तथा साथ ही कुछ ऐसे प्रश्नों को हल करना सीखेंगे जिसमे लघुत्तम और महत्तम दोनों को आधार बनाया जा सके.

उदाहरण :- दो संख्या का गुणनफल 7168 है और इनका महत्तम 78 है तो संख्या ज्ञात करें .
हल :- संख्या अपने महत्तम का गुणनफल होंगी . माना संख्या क्रमशः 16a और 16b है, जहाँ a और b क्रमशः परस्पर अभाज्य हैं.
16a x 16b = 7168
ab = 28

a और b के गुणनखंड क्रमशः (1,28) ,(2,14) तथा (4,7) है. 14 और 2 परस्पर अभाज्य नहीं है अतः हमें अन्य युग्म पर विचार करना पड़ेगा. अतः संख्या 28 x 16, 1x 16 ; 7 x 16, 4 x16 अर्थात (448,16) तथा (112, 64) होगा .

उदाहरण :- दो संख्या का योग 150 है और उनका म.स. 25 है तो संख्या ज्ञात करें .
हल :- माना संख्याए a और b है. संख्या अपने महत्तम का गुणनफल होंगी . अतः संख्या क्रमशः 25x और 25y है, जहाँ x और y क्रमशः परस्पर अभाज्य हैं.
25x + 25y = 150
x + y = 6
ऐसी संख्याओं के जोड़े जिनका योग 6 है – ((1,5) , (2,4) (3,3). इसमें (2,4) (3,3) परस्पर अभाज्य नहीं है. अतः अभीष्ट संख्या का युग्म (1,5) है . संख्या क्रमशः 25 x 1 और 25 x 5 होंगी. संख्या = 25, 125 है .

उदाहरण :- वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 63 , 138 और 228 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में समान शेष बचे.
हल :- वह बड़ी से बड़ी संख्या जो x, y एवं z से भाग देने पर प्रत्येक दशा में समान शेष बचे =
म.स.( x-y, y-z , z-x)
यहाँ 138 – 63 = 75 , 228 – 138 =90 तथा 228 – 63 = 165 का म.स. निकालने पर हमें अभीष्ट संख्या प्राप्त होगी .
म.स. ( 75, 90, 165) = 15

उदाहरण :- वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 23 , 35 और 41 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 5 शेष बचे.
हल :- ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले संख्या में शेष घटा दे और उनका म.स. निकालें.
23 – 5 = 18 , 35 – 5 = 30 तथा 41 – 5 = 36
म.स. (18, 30, 36) = 6

उदाहरण: - पांच संख्याए दी हुई है जिनका म.स. 4 है तथा इनका ल.स. 27720 है , इन पांचो संख्याओं का गुणनफल क्या होगा ?
हल :- यदि n संख्याओं का म.स. a हो तथा इनका ल.स. b हो तो इनका
गुणनफल = (म.स.)n – 1 x ल.स. होगा
यहाँ म.स. = 4 , ल.स. = 27720 है तथा n = 5 है
अभीष्ट संख्या = (4)5 – 1 x 27720 = 7096320

उदाहरण :- वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 162 , 382 और 877 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 3 की कमी रह जाये .
हल :- अभीष्ट संख्या = 162 + 3 = 165 , 382 + 3 = 385 तथा 877+ 3 = 880 का म.स.
म.स.(165, 385, 880) = 55

उदाहरण:- वह अधिकतम लम्बी रॉड का माप क्या होगा जो 495 सेमी , 9 मी तथा 16 मी 65सेमी की लम्बाई को माप सके .
हल :- लम्बाई = म.स. (495, 900, 1665)
495 = 3 x 3 x 5 x 11
900 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5
1665 = 3 x 3 x 5 x 37
म.स. (495, 900, 1665)= 45 सेमी

आइये कुछ और सवालों को हल करें.

उदाहरण :- तिन ड्रमो में क्रमशः 30 ,40 एवं 50 लीटर दूध है . वह बड़ा से बड़ा किस माप का डिब्बा होगा जो प्रत्येक ड्रम के दूध को डिब्बों की पूर्ण संख्या में माप दे?
हल :- यहाँ आपको 30 ,40 एवं 50 का म.स. होगा
म.स.( 30 ,40 एवं 50) = 10 लीटर

उदाहरण:- दो संख्याओं का अंतर 6 है तथा उनके वर्गों का योग 1476 है. यदि उनका लघुत्तम समापवर्तक 120 है तो उनका म.स. क्या होगा
हल :- माना संख्या x एवं y है , जहाँ x > y
(x-y)2 = x2 – 2xy + y2
36 = 1476 – 2xy
xy = 720
720 = 120 x म.स.
म.स. = 6

उदाहरण:- दो संख्याओं का योग 121 है . यदि उसके ल.स. तथा म.स. का योग और अंतर क्रमशः 341 तथा 319 हो तो संख्या बताएं?
हल :- यदि ल.स. = L तथा म.स. = H
L + H = 341
L – H = 319
L = 330 , H = 11
संख्या अपने महत्तम का गुणनफल होंगी . माना संख्या क्रमशः 11 x 5 = 55 , 11 x 6 = 66 होगी

उदाहरण :- एक आयताकार फर्श की लम्बाई 20 मी. 16 सेमी है और चौड़ाई 15 मी 60 सेमी है . इसको समान वर्गाकार टाइल लगाकर पक्का करना है तो इसके लिए कम से कम कितनी टाइल की जरुरत होगी .
हल :- 20 मी. 16 सेमी = 2016
15 मी 60 सेमी = 1560
म.स.(2016, 1560) = 24
टाइल की संख्या = 2016 x 1560 / 24 x 24 = 5460
उदाहरण:- एक वृताकार मैदान की लम्बाई 20 किमी है . तीन धावक एक ही स्थल से एक ही समय पर एक ही दिशा में दौड़ना आराम्भ करते है. यदि उनकी चाल क्रमशः 4 किमी/घ, 6 किमी/घ तथा 9 किमी/घ हो वे तीनो कितने समय बाद एक साथ मिलेंगे
हल :- समय = दुरी / चाल
अतः समय = 20/4 , 20/6 तथा 20/9 घंटा है
अभीष्ट समय = भिन्नों का ल.स.
= 20 , 20, 20 का ल.स
4, 6 , 9 का म.स.
= 20
आशा है अब आप इस तरह के ढेरों सवाल हल कर इस अध्याय के सवाल हल कर पाएंगे .

डॉ. राजेश कुमार ठाकुर