औसत -1

औसत

दो या दो से अधिक सजातीय राशियों के जोड़ को कुल राशी के साथ भाग देने पर औसत प्राप्त होता है. प्रतियोगी परीक्षा में इसपर आधारित सवालों की अपेक्षा भी रहती है. यूँ तो इस तरह के सवाल कुछ बीजगणितीय सूत्रों पर आधारित रहते हैं या फिर शब्द समस्या पर, जिसे थोड़ी मेहनत कर आप सीख सकते हैं.
यदि संख्याए x1 , x2 , x3 --- xn हो तो इनका औसत = (x1 + x2 + x3 + --- + xn) / n होगा .

औसत पर आधारित कुछ सूत्र
1. प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1) / 2
2. प्रथम n सम संख्याओं का औसत = (n + 1)
3. प्रथम n विषम संख्याओं का औसत = n
4. प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत = (n +1) (2n + 1) / 6
5. प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत = n (n + 1)2 / 4
6. 1 से लेकर n तक की विषम संख्याओं का औसत = (n+1)/2
7. 1 से लेकर n तक की सम संख्याओं का औसत = (n + 2)/2

प्रश्न :- 1 से लेकर 31 तक की संख्या का औसत निकालें
हल :- ऊपर बताये गए सूत्र संख्या 6 से औसत = (31 + 1) / 2 = 16

प्रश्न :- 1 से 25 तक के सभी संख्याओं के वर्गों का औसत निकालें ?
हल :- सूत्र 4 से औसत = (25 + 1) (2 x 25 + 1) / 6 = 221 , यहाँ n = 25

प्रश्न :- 1 से 10 तक की सभी संख्याओं के घनों का औसत निकालें ?
हल :- सूत्र 5 से , औसत = 10 x (10+ 1)2 / 4 = 302.5

प्रश्न :- लव-कुश अपने घर से विद्यालय 12 किमी/घ की रफ़्तार से गया और शाम को छुट्टी के समय 10 किमी/घ की रफ़्तार से घर वापस आया तो बताएं उसकी औसत चाल कितनी थी ?
हल :- ऐसे प्रश्नों को सीधे ही सूक्ष्म विधि के सूत्रों द्वारा हल किया जा सकता है –
यदि समान दुरी तय करने में क्रमशः चाल x किमी/घ और y किमी/घ हो तो औसत चाल = 2xy /x + y होगी
यहाँ x = 12 तथा y = 10 है अतः औसत चाल = (2 x 12 x 10)/ 10 +12 = 10.9 किमी/घ

प्रश्न :- अब्दुल रहीम अपने घर से 15 किमी/घ की चाल से स्कुल जाता है और अपने शिक्षक की मोटरसाइकिल लेकर 10 किमी/घ की रफ़्तार से वापस लौटता है, फिर मोटरसाइकिल ठीक कराकर वह 20 किमी/घ की रफ़्तार से स्कुल पहुँचता है, तो उसकी औसत चाल क्या है ?
हल :- औसत चाल यदि a किमी/घ , b किमी/घ तथा c किमी/घ हो तो परन्तु हर स्थिति में दुरी समान हो तो औसत चाल = किमी/घ होगी .
इसी सूत्र की मदद से हम इस प्रश्न को हल करें तो