संख्या पद्धति- 2 और भाज्यता की जाँच

अब इसी कड़ी को आगे बढ़ाते हैं .
भाज्यता की जाँच :-

2 :- कोई संख्या 2 से बिभाजित होगी यदि इकाई अंक 0,2,4,6,और 8 हो. जैसे – 978 , 4567890

3:- कोई संख्या 3 से बिभाजित होगी यदि संख्या के सभी अंको का योग 3 से विभाज्य हो. जैसे – 954 के सभी अंक का योग 9 + 5 + 4 = 18 , 3 से विभाज्य है अतः 954 भी 3 से विभाजित है .

4:- कोई संख्या 4 से बिभाजित होगी यदि अंतिम दो अंक (इकाई अंक दहाई अंक) 4 से विभाजित हो या अंतिम दो अंक 00 हो.
928 , 4 से विभाज्य है क्योंकि 28 , 4 से भाजित है .

5 :- कोई संख्या 5 से बिभाजित होगी यदि इकाई अंक 0 और 5 हो . जैसे – 120 , 2567965

6:- कोई संख्या 2 से बिभाजित होगी यदि वह 2 और 3 से विभाज्य होगी . 126 , 2 और 3 से विभाजित होती है अतः यह 6 से विभाजित होगी.

7 :- संख्या के अंकों को विपरीत क्रम में (दायीं से बायीं ओर) ले और इन्हें क्रमशः 1, 3, 2, 6, 4, 5 से गुणा करें और यह क्रम जब तक आवश्यक हो दुहरायें . परिणाम को योग करें और यदि यह परिणाम 7 से विभाज्य हो तो मूल संख्या भी 7 से बिभाज्य होगी .
उदहारण :-क्या 1603 , 7 से विभाज्य है ?
3 x 1 +0 x 3 + 6 x 2 +1 x 6 =21, 7 से विभाज्य है अतः 1603 भी 7 से विभाज्य होगी.

8: कोई संख्या 8 से बिभाजित होगी यदि अंतिम तीन अंक (इकाई, दहाई और सैकड़ा अंक ) 8 से विभाजित हो या अंतिम तीन अंक 000 हो . जैसे - 28000 , 856,

9:- कोई संख्या 9 से बिभाजित होगी यदि संख्या के सभी अंको का योग 9 से विभाज्य हो. जैसे – 954 के सभी अंक का योग 9 + 5 + 4 = 18 , 9 से विभाज्य है अतः 954 भी 9 से विभाजित है .

10:- कोई संख्या 10 से बिभाजित होगी यदि इकाई अंक 0 हो . जैसे – 120 , 25679650

11:- कोई संख्या 11 से विभाजित होगी यदि इसके सम स्थानों पर स्थित संख्या और विषम स्थान पर स्थित संख्या के योग का अंतर 11 से भाजित हो या 0 हो.
2321, में सम स्थान पर स्थित संख्या का योग = 2 + 2 = 4 तथा विषम स्थान पर स्थित संख्या का योग = 1 + 3 = 4 एवं इनका अंतर 4 – 4 = 0 है , अतः यह 11 से भाजित होगी

उदाहरण :- 234*5 यदि 9 से विभाजित है तो * के स्थान पर क्या आएगा?
हल :- 2+3+4+5 = 14 , उपरोक्त नियम से 9 से विभाजित होने के लिए संख्या का योग 9 का गुणनफल होना चाहिए. अतः * = 18 – 14 = 4
उदाहरण:- यदि x एवं y संख्या 653xy के दो अंक हैं जो 80 से विभाजित है तो x + y =?
a) 2 b)3 c) 4 d)5
हल :- संख्या 80 = 8 x 10 से विभाजित है , 10 से विभाजित होने के लिए इकाई अंक 0 होना चाहिए , अतः y = 0 होगा . साथ ही 8 से कोई संख्या तभी विभाजित होगी यदि अंतिम तीन अंक 8 से विभाजित होना आवश्यक है , अतः x = 2 और x + y = 2 + 0 = 2 होगा

इकाई अंक निकालना

उदाहरण:- (729)^59 का इकाई अंक क्या होगा
हल :- घात में 1 घटाए और 4 से भाग दें .
59 – 1 = 58 और 58 में 4 से भाग देने पर 2 शेष आता है
अतः इकाई का अंक = (9)2+1 = 93 = 729 में इकाई अंक 9 होगा

उदाहरण :- (2467)^153 x (341)^72 के गुणनफल में इकाई का अंक क्या होगा
हल:- (2467)^153 में (153 – 1)/4 में शेष = 0 है ,अतः इकाई का अंक = (7)0+1 = 7 होगा
(341)^72 में (72 – 1)/4 में शेष = 3 है तो इकाई का अंक = (1)3+1 = 1 होगा
अतः (2467)^153 x (341)^72 के गुणनफल में इकाई का अंक = 7 x 1 = 7

उपरोक्त उदाहरण के अनुसार :- यदि किसी दी हुई संख्या y की घात x हो अर्थात संख्या (y)x हो तो x-1 में 4 से भाग देकर शेष ज्ञात करते है. इकाई का अंक = (y की इकाई का अंक )शेष+1 होगा.

अंको से बनी बड़ी और छोटी संख्या :-
अंक सबसे बड़ी सबसे छोटी
2 99 10
3 999 100
4 9999 1000
5 99999 10000

प्रश्न:- सात अंको की सबसे बड़ी और आठ अंको की सबसे छोटी संख्या का अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर :- सात अंको की सबसे बड़ी संख्या = 9999999 तथा सात अंको की सबसे छोटी संख्या = 10000000 होगी और इनका अंतर = 10000000 – 9999999 = 1

संख्या के योग :-
1. लगातार n प्राकृत संख्या का योग = 1 + 2 +---+n = n(n+1)/2
2. लगातार n तक की विषम संख्या का योग = (n+1)^2/4
3. लगातार n सम संख्या का योग = n(n+1)
4. लगातार n प्राकृत संख्या के वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6
5. लगातार n प्राकृत संख्या के घनो का योग = n^2 (n+1)2/4
6. प्रथम n विषम संख्या का योग = n^2

उदाहरण :- प्रथम 10 विषम संख्या का योग बताएं
हल :- (10)2 = 100 ( सूत्र संख्या = 6)
उदाहरण :- 1 से 101 तक की विषम संख्या का योग बताये
हल :- (1 + 101)2 / 4= 2601 ( सूत्र संख्या = 2)
उदाहरण :- 1 से 100 तक के सभी संख्या का योग बताइए
हल :- (100 x 101)/2 = 5050
(अगले अंक में जारी)
डॉ राजेश कुमार ठाकुर