अपरिमेय संख्या का वर्गमूल व अपूर्ण संख्या का घनमूल

अपरिमेय संख्या का वर्गमूल व अपूर्ण संख्या का घनमूल

प्रतियोगिता परीक्षा में अक्सर ऐसे प्रश्न होते हैं जिनके हल करने में आपको अपरिमेय संख्या का वर्गमूल निकालने की जरुरत होती है और साथ ही कई बार जब आप क्षेत्रमिति या त्रिकोणमिति के सवाल को हल करते हैं तो आपको √7 , √11 , √37 ... के वर्गमूल की जरुरत होती है और आप असमंजस की स्तिथी रहती है की आप इसका हल कैसे निकालेंगे क्योंकि विद्यालयी पाठ्यक्रम में जिस नियम को सिखाया जाता है उससे अगर आप हल करने की सोचें तो आपको कुछ समस्या और समय लग सकता है. मैं यहाँ जो नियम आपको बताने जा रहा हूँ उससे आपकी समस्या छु मंतर हो जाएगी. इसे और आसान बनाने के लिए आपसे गुजारिश करूँगा की 1 से 20 तक के वर्ग आप अवश्य ही याद कर ले जिससे आपको इस तरह के सवाल को हल करने में सहायता मिलेगी. अपरिमेय संख्या की खोज का श्रेय पाइथागोरस को जाता है . शुल्व सूत्र में भी अपरिमेय संख्या का विस्तृत वर्णन मिलता है और साथ ही √2 का दशमलव के 4 अंको तक सही मान निकालने के लिए एक सूत्र भी दिया .

उदाहरण :- 26 का वर्गमूल निकालें ?
हल :- 1. सबसे पहले आप संख्या के नजदीक के पूर्ण वर्ग को ढूंढे . यहाँ 26 के नजदीक 25 (= 52) ऐसी संख्या है जो पूर्ण वर्ग है.
2. पूर्ण वर्ग संख्या और जिस संख्या का वर्गमूल निकलना है का अंतर निकालें .
अंतर = 26 – 25 = 1
3. अपरिमेय संक्या का वर्ग =

उपरोक्त सूत्र का इस्तेमाल कर आप आसानी से इसे हल कर सक सकते हैं. यहाँ आपको जो उत्तर प्राप्त होगा उसका मान दशमलव के बाद 2 अंकों तो सही हो सकता है क्योंकि यह उत्तर एक अनुमानित हल है . आइए हम पिछले उदाहरण पर लौटे .
√26 = 5 + 1/2x5 = 5 + 0.5 = 5.5

आशा है की आपको यह विधि आसान लगेगी. चलिए हम कुछ और उदहारण देखे .
उदहारण : √47 = ?
हल :- 47 के नजदीक 49 एक पूर्ण वर्ग है जिसका वर्गमूल 7 होगा .
अंतर = 47 – 49 = - 2
√47 = 7 - 2/2 x 7 = 7 - 0.0142 = 6.9858

उदहारण : √139 = ?
हल :- 139 के नजदीक 144 एक पूर्ण वर्ग है जिसका वर्गमूल 12 होगा .
अंतर = 139 – 144 = -5
√139 = 12 - 5/2 x 12 = 12 - 0.083 = 11.91

अपूर्ण घनमूल निकलने की विधि
किसी संख्या का घनमूल निकालना अपने आप में एक टेढ़ी है , अगले आने वाले अंको में कई वर्गमूल और घनमूल निकलने के कई विधि पर चर्चा करेंगे . चलिए उदाहरण के जरिये कुछ प्रश्नों पर विचार करें.
अपूर्ण घन का घनमूल =

उदाहरण:- 128 का घनमूल निकालें?
हल :- 128 के नजदीक का पूर्ण घन 125 है और इसका घनमूल 5 है .
अंतर = 128 – 125 = 3
(128)1/3 = 5 + 3/3 x 5 ^2 = 5 + 0.04 = 5.04
उदाहरण: - 761 का घनमूल निकालें
हल : - 761 के नजदीक 729 एक पूर्ण घन है और इसका घनमूल 9 है
अंतर = 761 – 729 = 32
(761)^1/3 = 9 + 32/ 3 x 9^2 = 9 + 0.131 = 9.131

आशा है की आपको परीक्षा में इसपर आधारित कुछ सवाल को हल करने में इस अचूक विधि से भरपूर सहायता करने में हल मिलेगी. तो क्यों न कुछ अभ्यास प्रश्नों की मदद से लेख की समाप्ति करें.
वर्गमूल निकाले:-
45 , 78 , 87 , 115, 236 , 461
घनमूल निकालें
76 , 28 , 98 , 47 , 468, 783
सबसे पहले आप उपरोक्त सवाल को हल करें और फिर अपने उत्तर की जाँच करने के लिए आप कैलकुलेटर का प्रयोग कर सकते हैं.

डॉ. राजेश कुमार ठाकुर