एक संख्या अभाज्य है की नहीं की जाँच

एक संख्या अभाज्य है की नहीं की जाँच :-

दो संख्या के बीच कितने अभाज्य संख्या है को निकालने के लिए कोई संख्या इरास्थेनिस के द्वारा एक बिधि का उल्लेख आता है परन्तु प्रतियोगिता परीक्षा में किसी दी हुई संख्या के अभाज्य होने या न होने पर प्रश्न पूछे जाते हैं.

 मान लीजिये की p एक दी हुई संख्या है तो सबसे पहले आप n एक ऐसी संख्या खोजिये जिससे n² ≥ p हो . अब आप n से छोटी सभी अभाज्य संख्या से p को भाग दें यदि p इनमे से किसी भी संख्या से भाजित न हो तो p अभाज्य है नहीं तो p भाज्य होगी

उदाहरण :- क्या 437 अभाज्य है ?

हल :- यहाँ (21)² > 437 है और 21 से छोटी अभाज्य संख्या क्रमशः 2, 3, 5, 7,11,13,17,19 है और 437 संख्या 19 से विभाजित है अतः 437 अभाज्य नहीं है

उदाहरण :- क्या 811 अभाज्य है ?

हल :- यहाँ (30)² > 811 है और 30 से छोटी अभाज्य संख्या क्रमशः 2, 3, 5, 7,11,13,17,19,23 और 29  है और 437 किसी संख्या से विभाजित नहीं  है अतः 811 अभाज्य है.

उदाहरण :- क्या 517 अभाज्य है ?

हल :- यहाँ (23)² > 517 है और 23 से छोटी अभाज्य संख्या क्रमशः 2, 3, 5, 7,11,13,17और 19 है  परन्तु 517 , 11 से विभाजित है अतः 811 अभाज्य संख्या नही है.

ध्यान रखें की आपको 1 से 100 तक के बीच आने वाले अभाज्य संख्या याद हो क्योंकि कई बार ऐसे प्रश्न आते है की 1 से 50 तक के अभाज्य संख्या का औसत निकालें या इनका योग निकालें ऐसी स्थिति में अगर आपको संख्या याद है तो आपको कोई दिक्कत नहीं आने वाली और आप शीघ्रता से प्रश्न हल कर पाएंगे. आइये सबसे पहले अभाज्य संख्या निकालने की विधि का अवलोकन करें.

नियम :- सबसे पहले 1 को काट दें क्योंकि 1 न तो अभाज्य संख्या है न ही संयुक्त संख्या , यह एक विशिष्ट संख्या है. अगर आपको 100 तक की सभी अभाज्य संख्या का पता करना है तो सबसे पहले 100 का वर्गमूल निकालें

चूँकि √100 = 10 है अतः 10 से छोटी सभी अभाज्य संख्या - 2,3,5,7 को गोलाकार कर इनके गुणज को काट दें अब जो संख्या शेष है वो सभी अभाज्य संख्या है.

 1 से 100 तक के बीच 25 अभाज्य संख्या - 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89, और  97 है .

प्रश्न :- प्रथम 5 अभाज्य संख्याओं का माध्य निकाले?

हल :- प्रथम 5 अभाज्य संख्या – 2,3,5,7,11 है

माध्य = संख्याओं का योग / कुल संख्या

      = 2 + 3 + 5 + 7 + 11

                5

      = 5.6

प्रश्न :- 5 अभाज्य संख्याओं का माध्य निकाले जिसका इकाई अंक 7 हो ?

हल :- 5 अभाज्य संख्या जिसका इकाई अंक 7 है – 7, 17, 37, 47 और 67 है

माध्य = संख्याओं का योग / कुल संख्या

      = 7 + 17 + 37 + 47 + 67

                5

      = 35

प्रश्न :- 1 से 100 तक की संख्याओं में जुड़वाँ अभाज्य संख्याएं कितनी है ?

हल :- (3,5), (5,7) (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73) ये कुल 8 युग्म है . दो संख्या जुड़वाँ अभाज्य संख्या होती हैं यदि उनका महत्तम समापवर्तक 1 हो.

डॉ राजेश कुमार ठाकुर