संख्या के प्रकार : एक विचार

संख्या के प्रकार

1. प्राकृत संख्या – गिनती की संख्या को प्राकृत संख्या कहते है . जैसे 1, 2, 3, ----- इत्यादि इसे N से सूचित करते हैं. प्राकृत संख्या अनंत है ये हमेशा याद रखें

2. पूर्ण संख्या :- प्राकृत संख्या में 0 सम्मिलित करने पर पूर्ण संख्या का समूह बनता है . जैसे 0, 1, 2, ..इसे W से सूचित करते हैं और ये भी अनंत हैं

3. पूर्णांक संख्या :- प्राकृत संख्या में 0 और ऋण संख्या सम्मिलित करने पर पूर्णांक संख्या प्राप्त होती है . --- जैसे -3, -2 , -1 , 0, 1, 2, 3,---

स्पष्ट है की पूर्णांक संख्या में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्या शामिल है. इसे I से सूचित किया जाता है.

4. सम संख्या :- 2 से विभाजित संख्या सम संख्या कहलाती है. दुसरे शब्दों में यदि किसी संख्या को 2n के रूप में लिखा जा सकता है तो यह अवश्य ही सम संख्या होंगी, इसी आधार पर हम 0 को सम संख्या लिख सकते है. कुछ विद्वान 0 को सम संख्या लिखने में कोताही बरतते हैं परन्तु मेरी समझ से यह गलत है. आप जानते हैं की सम + सम = सम

इस हिसाब से +2 और -2 दोनों ही सम संख्या है अतः +2 + (-2) = 0 भी सम संख्या होंगी  . जैसे 0, 2, 4----

5. विषम संख्या:- ऐसी संख्या जो 2 से पूर्ण रूप से बिभाजित नहीं हो और इसे 2n+ 1 के रूप में लिखा जा सकता है  जैसे 1, 3, 5, 7---

6. योगिक या भाज्य संख्या :- ऐसी प्राकृत संख्या जो 1 या स्वयं के अतिरिक्त दूसरी संख्याओ से विभाजित हो जाये. जैसे 4, 6, 8, 9,10,---

7. अभाज्य संख्या :- 1 से बड़ी ऐसी प्राकृत संख्या जो 1 या स्वयं के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से विभाजित न हो.  दो संख्या के बीच कितनी अभाज्य संख्या है निकालने के लिए एरास्थोनेस ने छलनी विधि की खोज की थी और यही एक प्रभावी विधि है. याद रखे 1 से 100 के बीच कुल 25 अभाज्य संख्या मौजूद है और 2 अकेली अभाज्य संख्या है जो सम संख्या भी है.

जैसे -2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

8. परिमेय संख्या :- जो संख्या p/q के रूप में हो जहाँ p और q दो पूर्णांक है तथा q ≠0 परिमेय संख्या कहलाती है . जैसे ¾ , 17/ 49 , 0, 5, ---

सभी सांत और ऐसी आवर्ती संख्या जो लगातार पुनरावृत ना हो रही हों वो भी परिमेय संख्या के श्रेणी में आयेंगे.

2.3458 , 0.07315---

9. अपरिमेय संख्या :- जो संख्या p/q के रूप में न हो .जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠0 जैसे √2, √3 , 2 +√3--

10. असहभाज्य संख्या:- वे दो प्राकृत संख्याये जिनका महत्तम समापवर्तक 1 हो उसे असहभाज्य (co-prime) कहते हैं. जैसे 4 और 9 असहभाज्य संख्याए हैं.

11. धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक :- पूर्ण संख्याए 1, 2, -- को धनात्मक पूर्णांक कहते है और इन्हें +1, +2 – लिखा जाता है. धन पूर्णांक +x के योज्य प्रतिलोम –x को ऋणात्मक पूर्णांक कहते हैं और इन्हें -1, -2 से दर्शाया जाता है.

12.वास्तविक संख्याएं :- वास्तविक (Real) संख्याएं परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का सम्मिलित रूप है.

13. अवास्तविक या काल्पनिक संख्याएं :- कक्षा 11 में आप सबसे पहले इस संख्या को जानते है. मान लीजिये आपको x² + 4 = 0 को हल करना है तो आपका उत्तर x = √-4 होगा और आपको कक्षा 10 तक किसी संख्या जो ऋणात्मक है का वर्गमूल निकालना नहीं सिखाया जाता है तो इस संख्या के निदान के लिए नयी संख्या की खोज युलर ने की और इसे अवास्तविक या imaginary संख्या कहते है और यहाँ √-1 = i कहा जाता है. इस प्रकार √-4 = 2i होगा. ऐसी संख्याएं जिन्हें z = a + ib के रूप में लिखा जा सके उन्हें अवास्तविक संख्या कहते हैं जहाँ a और b दोनों ही वास्तविक संख्या हैं.

14. गुणा का तत्समक (Identity) :- किसी संख्या को 1 से गुणा करने पर उस संख्या में कोई अंतर नहीं आता अतः 1 को गुणा का तत्समक कहते हैं.

15. योग का तत्समक :- 0 को योग का तत्समक कहते हैं क्योंकि किसी संख्या में 0 जोड़ने पर उसमे कोई अंतर नहीं आता. a + 0 = a

16. योग का प्रतिलोम(Inverse):- प्रत्येक परिमेय संख्या a के लिए –a को योग प्रतिलोम कहते है और इन दोनों का योग हमें योग तत्समक देता है. a + (-a) = 0

17. गुणा का प्रतिलोम:- शून्य को छोड़कर प्रत्येक परिमेय संख्या a के लिए परिमेय संख्या 1/a मिलती है जिन्हें गुना का प्रतिलोम कहते हैं और इनका गुणन हमें तत्समक 1 देता है. a × 1/a = 1

18. क्रमागत संख्याएं :- लगातार लिखी गयी संख्याएं क्रमागत कहलाती हैं , यथा – 1, 2, 3, ... क्रमागत प्राकृत संख्या है जबकि 2, 4, 6, ... क्रमागत सम संख्या और 1, 3, 5, ... क्रमागत विषम संख्याएं हैं. इस हिसाब से y, y+ 1, y + 2 ... क्रमागत प्राकृत , y, y+ 2, y+ 4 क्रमागत सम और विषम संख्याएं हैं

डॉ राजेश कुमार ठाकुर