संख्या पद्धति -3

संख्या पद्धति
पिछले अंक में आपने विभाज्यता की जाँच , इकाई अंक निकालना, सम, विषम , प्राकृत संख्या का योग निकालना सीखा , अब इसी श्रृंखला को आगे बढ़ाते हैं.

गुणोत्तर श्रेणी

गुणोत्तर श्रेणी में दो लगातार संख्या का अनुपात बराबर होता है. 1, 2, 4, 8, 16, 32... गुणोत्तर श्रेणी का उदाहरण है क्योंकि 2/1 = 4/2 = 8/4 . इस सार्व अनुपात को r कहते है और a = प्रथम पद . इस प्रकार a, ar,ar^2, ar^3 ---- गुणोत्तर श्रेणी में है.
n वा पद = ar^n – 1
n पदों का योग = यदि r < 1 तथा यदि r > 1
उदाहरण: - 2 + 22 + 23 + --- + 210 = ?
हल :- यह गुणोत्तर श्रेणी में है जहाँ पहला पद = 2 , n = 10 तथा r = 4/2 = 2 >1
योग = 2 (2^10 – 1) / 2 – 1 = 2046

समान्तर श्रेणी

यदि दो पदों का अंतर पूरी श्रृंखला में समान हो तो यह समांतर श्रेणी में है. 2, 7, 12, 17,.... समान्तर श्रेणी का उदाहरण है जहाँ a = पहला पद तथा d = सार्व अंतर = दुसरा पद – पहला पद यहाँ a , a+d ,a+ 2d , a+3d --- समांतर श्रेणी का पद है .

n वा पद = a + (n – 1 )d
n पदों का योग = n{2a+ (n –1)d} 2
उदाहरण :- 6 + 15 + 24 + --------+ 105 = ?
हल :- a = 6 , d = 15 – 6 = 9 अंतिम पद = 105 = n वा पद
n वा पद = a + (n – 1 )d = 105 = 6 + (n – 1) x 9 = 105 , अतः n = 12
योग = 12/2 x {2 x 6 + (12 – 1)x9} = 666

संख्या पर क्रिया

a + b = b + a --- योग का क्रम विनिमय नियम
a x b = b x a ----- गुना का क्रम विनिमय नियम
a + (b + c) = (a+b)+ c ----- योग का सहचर्य नियम
a x ( b x c ) = (a x b) x c ---- गुना का सहचर्य नियम
a x (b + c ) = a x b + a x c ------------ वितरण नियम
भाज्य = भाजक x भागफल + शेष

उदाहरण :- किसी संख्या को 342 से भाग देने पर 47 शेष बचता है यदि उसी संख्या को 18 से भाग दिया जाये तो कितना शेष बचेगा.
हल :- माना संख्या को 342 से भाग देने पर भागफल k आता है और शेष = 47 तो
भाज्य = 342k + 47 = 18 x 19k + 18 x 2 + 11 = 18(19k+2)+ 11
इसमें 18 से भाग देने पर शेष 11 बचेगा.

उदाहरण:- निम्न में कौन सी संख्या 461 + 462+463+464 को विभाजित करेगी ?
a) 3 b)10 c)11 d)13
हल :- 461(1 + 4 + 42 + 43) = 461 x 85 = 460 x 4 x 85 = 460 x 340 , 10 से विभाजित होगी .

उदाहरण:- एक 3 अंक की संख्या 4a3 को अन्य 3 अंक की संख्या 984 में जोड़ने पर एक 4 अंक की संख्या 13b7 प्राप्त होती है जो 11 से विभाजित है तो a+ b = ?
a)10 b) 11 c) 12 d)13
हल :- 4 a 3 + 9 8 4 = 13 b 7 , अर्थात a + 8 = b , 11 से विभाजित होने के लिए सम स्थानों पर स्थित संख्या और विषम
स्थानों पर स्थित संख्या का अंतर 0 या 11 से विभाजित होगी.
(7+3) – (b +1) = 9 – b = 0
b = 9 ; b का यह मान a + 8 = b में रखने पर a = 1 होगा. अर्थात a + b = 10

उदाहरण :- 444444 किन संख्याओ से विभाजित होगी?
हल :- इस प्रश्न को हल करने के पहले मैं कुछ बातें आपको बताना चाहता हूँ –
• यदि किसी संख्या की आवृति सम हो तो वो 11 से विभाजित होगी
• यदि किसी संख्या की आवृति 3 बार , 6 बार , 9 बार –( 3 के गुणज) हो तो वो संख्या 3 और 37 से विभाजित होगी
• यदि किसी संख्या की आवृति 6 बार, 12 बार , 18 बार (6 के गुणज ) हो तो वह संख्या 3 , 7 , 11 और 13 से विभाजित होगी
यहाँ 4 की आवृति 6 बार है तो यह 7 , 11 और 13 से विभाजित होगी

दो अंको की संख्या
यदि किसी संख्या का इकाई अंक x और दहाई y हो तो संख्या = 10y+ x होगा और इसके पलटने से बनी संख्या = 10x+y होगा
1. यदि दो अंको की संख्या और उसके अंको को पलटने से बनी संख्या को जोड़ दिया जाये तो प्राप्त संख्या हमेशा 11 से विभाजित होगी और उस संख्या के अंको का योग = संख्याओं का योग ÷ 11

2. यदि दो अंको की संख्या और उसके अंको को पलटने से बनी संख्या को घटा दिया जाये तो प्राप्त संख्या हमेशा 9 से विभाजित होगी और उस संख्या के अंको का अंतर = संख्याओं का अंतर ÷ 9

उदाहरण:- यदि दो अंको की संख्या और उसके पलटने से बनी संख्या का योग 77 है तो संख्या का योग क्या होगा?
हल :- उपरोक्त नियम से संख्या का योग = 77 /11 = 7
• यदि कोई संख्या अपने x/y वें भाग से z अधिक है तो संख्या = yz / y – x होगी
• यदि किसी संख्या को x/y से गुणा या भाग करने के बदले x/y से भाग या गुणा कर दिया जाए तो वास्तविक परिणाम से z अधिक या कम प्राप्त हो तो संख्या = x y z / (x+y)(y-x) होगा.

उदाहरण :- यदि कोई संख्या अपने 1/5 से 20 अधिक है तो संख्या बताएं
हल:- संख्या = (20 x 5) ÷ (5-1) = 25

उदाहरण :- एक छात्र को 5/9 से गुणा करने के लिए कहा गया परन्तु उसने 5/9 से भाग दे दिया जिसके कारण परिणाम वास्तविक परिणाम से 112 अधिक प्राप्त हुआ , दी संख्या बताएं
हल :- (5 x 9 x 112 ) ÷ (5+9) (9-5) = 90

आपने देखा की यदि हमें कुछ लधु विधि से सवाल हल करने के तरीके पता हो तो हम अवश्य ही परीक्षा में तेजी से उत्तर प्राप्त कर सकते हैं. तो पढ़ते रहें और याद रखे गणित सिखने के लिए अधिक से अधिक प्रयास और मेहनत की जरुरत है और आशा है आप ऐसा ही करेंगे.

डॉ राजेश कुमार ठाकुर