माचिस का खेल

डॉ राजेश कुमार ठाकुर

वर्गमूल निकलने के मजेदार और बेहतरीन विधि

वर्गमूल निकलने के मजेदार और बेहतरीन विधि

आइये मैं आपको एक बहुत ही मजेदार विधि सिखाता हूँ जिसके बाद आप अवश्य ही अपनी सीट से उठ खड़े होंगे और कहेंगे – वाह ! वाह
परन्तु यह विधि 3 – 4 अंक के वर्गमूल निकालने के लिए ही प्रयाप्त है.

• जैसा पिछले ब्लॉग में बताया जा चूका है कि आप संख्या को बाएं से दाये ओर बढ़ते हुए 2 – 2 का समूह बनायेंगे और इसी समूह में सबसे पहले युग्म से आप a का मान निकाले
• अब दुसरे युग्म की बात करते हैं. यदि संख्या के अंतिम अंक 1, 4, 6, 9 होंगे तो आपके उत्तर के दो संभावना होंगे.
• a को a + 1 से गुणा करें यदि गुणनफल a × (a + 1) > पहला युग्म तो दोनों संभावनाओं में सबसे छोटा हिस्सा लिया जायेगा , जो b होगा
• यदि गुणनफल a × (a + 1) ≤ पहला युग्म तो दोनों संभावनाओं में सबसे बड़ा हिस्सा लिया जायेगा जो b होगा.

उदाहरण : 2304 का वर्गमूल निकालें
हल :- सबसे पहले युग्म में संख्या को बांटे
23 04
यहाँ पहले युग्म से पता चलता है कि
4^2 < 23 < 5^2 अतः a = 4 अब दुसरे युग्म की बात करते हैं. यदि संख्या के अंतिम अंक 1, 4, 6, 9 होंगे तो आपके उत्तर के दो संभावना होंगे ऐसा ऊपर बताया गया है. यहाँ अंतिम अंक 4 है अतः b के दो मान 2 या 8 होंगे. a को a + 1 से गुणा करें यहाँ a = 4 तथा a + 1 = 5 है 4 × 5 = 20 < 23 अतः b = 8 इसलिए √2304 = 48 उदाहरण : 676 का वर्गमूल निकालें हल :- सबसे पहले युग्म में संख्या को बांटे 6 76 यहाँ पहले युग्म से पता चलता है कि 2^2 < 6 < 3^2 अतः a = 2 अब दुसरे युग्म की बात करते हैं. यदि संख्या के अंतिम अंक 6 हैं अतः तालिका 1 से आपके उत्तर के दो संभावना होंगे. इसलिए b के दो मान 4 या 6 होंगे. a को a + 1 से गुणा करें यहाँ a = 2 तथा a + 1 = 3 है 2 × 3 = 6 = 6 अतः b = 6 इसलिए √676 = 26 उदाहरण : 8836 का वर्गमूल निकालें हल :- सबसे पहले युग्म में संख्या को बांटे 88 36 यहाँ पहले युग्म से पता चलता है कि 9^2 < 88 < 10^2 अतः a = 9 अब दुसरे युग्म की बात करते हैं. यदि संख्या के अंतिम अंक 6 हैं अतः तालिका 1 से आपके उत्तर के दो संभावना होंगे. इसलिए b के दो मान 4 या 6 होंगे. a को a + 1 से गुणा करें यहाँ a = 9 तथा a + 1 = 10 है 9 × 10 = 90 >88
अतः b = 4
इसलिए √8836 = 94

यहाँ तालिका 1 और 2 की बात की गयी है उसे आप पिछले ब्लॉग की मदद से देख सकते हैं

आपका धन्यवाद

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डॉ राजेश कुमार ठाकुर

वर्गमूल निकलने के आसान तरीके

(a + b)^ 2 = a^2 + 2ab + b^2 से वर्गमूल निकालना

आपमें से अधिकांश इस सूत्र का प्रयोग वर्ग निकलने में करते होंगे. जैसे –
(15)^2 = (10 + 5)^2 = 10^2 + 2 x 10 x 5 + 5^2
= 100 + 100 + 25
= 225
परन्तु आपको यह जानकार काफी खुशी होगी की इसका प्रयोग आप वर्गमूल निकालने में भी कर सकते हैं .3 से 4 अंक की संख्या का वर्गमूल आप आसानी से इस सूत्र से निकाल सकते हैं शर्त यह है की संख्या एक पूर्ण वर्ग है.
आगे बढ़ने से पहले कुछ बातों को जान लेना बहुत आवश्यक है –
• एक पूर्ण वर्ग के अंत में 0, 1, 4, 5 , 6 और 9 होता है
• यदि किसी संख्या के अंत में 2, 3 , 7 और 8 हो तो वह पूर्ण वर्ग नहीं होगा
• यदि किसी संख्या के n अंक है तो उसके वर्गमूल में n/2 अंक होगा यदि n सम है अन्यथा (n + 1)/2 यदि n विषम है



उपरोक्त तालिका से यह पता चलता है की –
• किसी संख्या जिसके अंत में 1 हो उसके वर्गमूल का अंतिम अंक 1 या 9 होगा
• किसी संख्या जिसके अंत में 4 हो उसके वर्गमूल का अंतिम अंक 2 या 8 होगा
• किसी संख्या जिसके अंत में 9 हो उसके वर्गमूल का अंतिम अंक 3 या 7 होगा
• किसी संख्या जिसके अंत में 6 हो उसके वर्गमूल का अंतिम अंक 4 या 6 होगा
• किसी संख्या जिसके अंत में 5 हो उसके वर्गमूल का अंतिम अंक 5 होगा
• किसी संख्या जिसके अंत में 00 हो उसके वर्गमूल का अंतिम अंक 0 होगा




चलिए इसके कार्य विधि के बाए में जाने -
नियम : -
1. सबसे पहले दायें से बायीं ओर दो दो के युग्म पर निशान बनाना शुरू करें
2. तालिका 2 से सबसे बायीं ओर के युग्म का मिलान कर निकटतम वर्गमूल निकालें और इसे a कहें
3. सबसे बायीं ओर के युग्म से a^2 घटायें और साधारण भाग की तरह भाज्य से एक अंक नीचे उतारें
4. अब आपका अगला लक्ष्य है b की तलाश करना. चरण 3 में प्राप्त संख्या को 2ab के बराबर करें और इसमें a का प्राप्त मान डालें और b निकालने का प्रयास करें
5. चरण 4 में प्राप्त मान में से 2ab घटायें और भाज्य में से अगला अंक नीचे लायें . अब b^2 का मान भी इसी चरण में जांच सकते हैं. अंतिम शेष ही b^2 है.

आइये कुछ उदाहरण द्वारा इसे समझने का प्रयास करें
उदाहरण : - 225 का वर्गमूल निकालें
हल :- पहले दायें से बायीं ओर दो दो के युग्म पर निशान बनाना शुरू करें. यहाँ दो युग्म बनेंगे अतः पूर्ण वर्गमूल में 2 अंक होंगे.

यहाँ पहले युग्म 2 की तुलना तालिका 2 से करने पर a = 1 प्राप्त होगा क्योंकि 1^2 ≤ 2 ≤ 2^2
युग्म से a^2 घटायें और साधारण भाग की तरह भाज्य से एक अंक नीचे उतारें
2 – 1 = 1
अगला अंक 2 नीचे लिखें अब 2ab ≤ 12
अतः b ≤ 6
यदि आप b = 6 लेते हैं तो 12 – 2 ab = 0 होगा जिससे b^2 = 36 होगा परन्तु आपके पास तो अब एक ही अंक नीचे 5 दिखेगा जिसे आपने भाज्य से अगले चरण के लिए नीचे लिखा होगा.
अतः b = 5 लेते हैं जिससे 12 – 2 ab = 2
अगला अंक 5 को भाज्य से नीचे लिखने पर 25 बनता है जो b^2 = 5^2 = 25 होता है
इसलिए 225 का वर्गमूल = 15

उदाहरण : 8836 का वर्गमूल निकालें
हल :

यहाँ पहले युग्म 88 की तुलना तालिका 2 से करने पर a = 9 प्राप्त होगा क्योंकि 9^2 ≤ 88 ≤ 10^2
युग्म से a^ 2 घटायें और साधारण भाग की तरह भाज्य से एक अंक नीचे उतारें
88 – 81 = 7
अगला अंक 3 नीचे लिखें अब 2ab ≤ 73
अतः b ≤ 5
यदि आप b = 5 लेते हैं तो 2 ab = 2 x 9 x 5 = 90 > 73 होगा
अतः b = 4 होगा
b = 4 लेते हैं जिससे 73 – 2 ab = 1
अगला अंक 6 को भाज्य से नीचे लिखने पर 16 बनता है जो b^2 = 4^2 = 16 होता है
इसलिए 8836 का वर्गमूल = 94

पढ़ते रहिये और अपनी प्रतिक्रिया अवश्य भेजिए

डॉ राजेश कुमार ठाकुर

समय और दुरी - 2

उदाहरण:- अपने वास्तविक चाल के 4/5 चाल से चलकर सुनिधि अपने स्कुल 10 मिनट देर से पहुँचती है. स्कुल तक पहुँचने का वास्तविक समय, नए चाल से पहुँचने में लगा समय ज्ञात कीजिये?
हल :- अपने वास्तविक चाल के a/b चाल से चलकर कोई व्यक्ति अपने गंतव्य स्थान पर c मिनट देर से पहुँचता है तो गन्तव्य स्थान पहुँचने का वास्तविक समय = ac/ b – a तथा नए चाल से पहुँचने में लगा समय = bc / b – a होगा
वास्तविक समय = ac/ b – a = (10 x 4)/ 5 - 4 = 40 मिनट
नए चाल से पहुँचने में लगा समय = bc / b – a = 5 x 10 5 - 4 = 50मिनट

उदाहरण :- एक कछुआ ,एक खरगोश का पीछा करते हुए 16 किमी की दुरी 4 घंटे में तय करनी है, यदि वह अपनी यात्रा का ¼ भाग कुल समय के ¾ भाग में तय करती है तो शेष समय में शेष दुरी तय करने के लिए कछुए की चाल क्या होगी ?
हल :- कुल दुरी = 16 किमी, कुल समय = 4 घंटे
शेष दुरी = 16 - 16 x ¼ = 12 किमी
शेष समय = 4 – 4 x ¾ = 1 घंटा
चाल = दुरी /समय = 12/1 = 12 किमी/घंटा

प्रश्न :- एक चोर एक कार चोरी करके 2 बजे दोपहर भागता है और चोरी की घटना का पता 2.30 मिनट को पुलिस को चला , यदि चोर कार को 80 किमी/घ की रफ़्तार से ले गया और पुलिस उस कार का पीछा 100 किमी/घ से करे तो कितनी देर में चोर पकड़ा जा सकेगा?
हल :- यदि कोई व्यक्ति x किमी/घ से भागे और t समय के बाद उसे पकड़ने के लिए y किमी/घ की दर से पीछा करे तो उसे पकड़ने में लगा समय xt /y - x होगा
प्रश्न से , चोर को पकड़ने में लगा समय = 80 x ½ / 100 – 80
= 2 घंटा
अतः पुलिस , चोर को 2 + 2 = 4 बजे पकड़ लेगा

प्रश्न :- एक पुलिसवाला 200 मी, की दुरी पर खड़े एक पॉकेटमार को पकड़ने के लिए दौड़ता है और इसे देखकर पॉकेटमार भी दौड़ना शुरू कर देता है, यदि पुलिस 6 मिनट में 1 किमी दौड़ता है तथा चोर 8 मिनट में 1 किमी दौड़ता है तो पकडे जाने के पहले पॉकेटमार कितनी दुरी तय कर चूका होगा.
हल :- एक पुलिसवाला d मी, की दुरी पर खड़े एक चोर को पकड़ने के लिए दौड़ता है और इसे देखकर चोर भी दौड़ना शुरू कर देता है, यदि पुलिस b किमी/घंटा तथा चोर a किमी/घंटा के रफ़्तार से दौड़ता है तो पकडे जाने के पहले पॉकेटमार द्वारा तय दुरी = d x a / b - a
होगी जहाँ b > a
b = 1 किमी / 6 मिनट = 1000/ 6 x 60 = 2,77 मी/से.
a = 1 किमी / 8 मिनट = 1000/ 8 x 60 = 2.08 मी./से
d = 200मी.
पकडे जाने के पहले पॉकेटमार द्वारा तय दुरी= 200 / 2.77 - 2.08 = 290 मी (लगभग )

उदाहरण:- नीलभ और निष्ठा एक वृतीय पथ पर चलते है जिसका परिधि 1000 मी. है. नीलभ 50 मी/मिनट तथा निष्ठा 40 मी./मिनट की चाल से चलती है तो दोनों एक ही स्थान पर कब मिलेंगे यदि दोनों एक ही समय से और एक ही दिशा में चलना आरम्भ करते हैं?
हल :- नीलभ को 1 चक्कर लगाने में लगा समय = 1000/50 = 20 मिनट
निष्ठा को 1 चक्कर लगाने में लगा समय = 1000/40 = 25 मिनट
ल.स. (20, 25) = 100 मिनट
अर्थात वे दोनों 100 मिनट बाद मिलेंगे
उम्मीद है प्रश्नों का चयन आपको अच्छा लगा होगा और आप इसका अभ्यास करते रहेंगे
राजेश कुमार ठाकुर

समय और दुरी -1

समय और दुरी
समय और दुरी एक ऐसा अध्याय है जिससे प्रश्न परीक्षा में न आये ऐसा संभव नहीं है अतः आप लघु विधि पर अपनी पकड़ बनाने से पहले प्रत्येक सवाल को विस्तृत रूप से हल करने का अभ्यास करते रहे और फिर आप पाएंगे की लघु विधि के सूत्र हल करना कितना आसान है. यदि किसी वस्तु द्वारा इकाई समय में तय की गयी दुरी को चाल कहते हैं और दिशायुक्त चाल को वेग कहते है. चाल और दुरी में अन्योन्याश्रित सम्बन्ध है.
चाल = दुरी / समय समय = दुरी / चाल दुरी = चाल x समय

यदि दो ट्रेन क्रमशः x किमी/घ. तथा y किमी/घ. के चाल से एक ही दिशा में चल रही है तो उनकी सापेक्षिक चाल x – y किमी/घ. होगा परन्तु यदि दोनों ट्रेन विपरीत दिशा में चल रही हो तो सापेक्षिक चाल = x + y किमी/घ. होगा

आइये इस अध्याय पर परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रश्नों पर एक नजर देखें.

किलोमीटर/घंटा से मीटर/सेकंड और मीटर/सेकंड से किलोमीटर/घंटा

किमी /घ से मी/से में बदलने के लिए 5 /18 से गुना करें तथा मी/से से किमी/घ में बदलने के लिए 18 / 5 से गुना करें
उदाहरण :- 72 किमी / घ को मी./ से में बदलें
हल :- 5/18 से गुना करें = 72 × 5/18 = 20 मी / से

उदाहरण :- 20 मी / से को किमी./ घ में बदलें
हल :- 18 / 5 से गुना करें = 20 × 18/5 = 72 किमी / से

उदाहरण :- यदि नीलभ अपने स्कुल जाने के लिए अपने घर से कुछ दुरी 6 किमी/घ. की चाल से तय करता है और शेष दुरी 4 किमी/घ. की चाल से तय करता है तो पूरी यात्रा में उसका औसत चाल क्या है ?
हल :- यदि कोई वाहन/ व्यक्ति x किमी/घ की चाल से कही जा रहा है और y किमी/घ की चाल से वापस आती है तो कुल दुरी के लिए उसकी औसत चाल = 2xy/ (x + y) किमी/घ होगा
औसत चाल = 2 × 6 × 4/ 6 + 4 = 4.8 किमी/घ

उदाहरण:- एक व्यक्ति 5 किमी/घ. की चाल से चलता है. प्रत्येक 1 किमी चलने के बाद वह व्यक्ति 6 मिनट आराम करता है तो वह 25 किमी की दुरी तय करने में कितना समय लगेगा?
हल :- 25 किमी की दुरी तय करने में वह व्यक्ति 24 बार रुकेगा.
रुकने में लगा समय = 24 x 6 = 144 मिनट = 2 घंटा 24 मिनट
25 किमी की दुरी तय करने में लगा समय = 25/5 = 5 घंटा
कुल समय = 5 घंटा + 2 घंटा 24 मिनट = 7 घंटा 24 मिनट

उदाहरण :- दिव्यांजलि गुप्ता अपने घर से अपने स्कुल के लिए 12 किमी/घंटा की चाल से चलने पर 5 मिनट लेट पहुँचती है. यदि वह 15 किमी/घंटा की चाल से चले तो 4 मिनट पहले स्कुल पहुँचती है तो घर से स्कुल की दुरी कितनी है ?
हल :- यदि कोई व्यक्ति x किमी/घ से जाने पर a घंटा देर पहुँचता है और y किमी/घ की चाल से चलने पर b घंटा पहले पहुँच जाता है तो दुरी = xy ( a + b ) किमी
(y – x) × 60
दुरी = 12 x 15 x (5 + 5)
(15 – 12 ) x 60
= 10 किमी/घ

प्रश्न :- एक बन्दर किसी चिकने खम्भे पर 1 मिनट में 9 मीटर ऊपर चढ़ता है तथा दुसरे मिनट में 2 मीटर नीचे फिसल जाता है , यदि खम्भे की ऊंचाई 60 मीटर है तो बन्दर कितने समय में खम्भे के ऊपर चढ़ जायेगा ?
हल :- बन्दर खम्भे पर 1 मिनट में 9 मीटर ऊपर चढ़ता है तथा दुसरे मिनट में 2 मीटर नीचे फिसल जाता है, अतः 2 मिनट में 9 – 2 = 7 मीटर ऊपर चढ़ेगा. 7 के ऐसे गुणज जो 60 के पास हो 7 × 8 = 56 < 60
अर्थात 2 × 8 = 16 मिनट लगेगा अब शेष दुरी 60 – 56 = 4 मीटर चढ़ने में लगा समय = 4/9 मिनट
कुल समय = 16 मिनट + 4/9 मिनट = 16 4/9 मिनट

डॉ राजेश कुमार ठाकुर