जानवरों पर मजेदार गणितीय पहेली - राजेश कुमार ठाकुर

 

क्या आप जानते हैं

बड़ी- बड़ी संख्या लिखने की कला की बात की जाये तो यूनानी गणितज्ञ आर्कमिडीज का कोई सानी नहीं है. अपनी पुस्तक – द सेंड रेकनर में उन्होंने समुद्र के किनारे रेत की अनुमानित संख्या का विवरण देते हुए लिखा है कि 8 ×  रेत कण पुरे संसार में हैं. आप सोच रहे होंगे की आर्कमिडीज ने तीसरी शदी ईशा पूर्व में इतनी बड़ी सख्या की कल्पना कैसे कर ली पर आपको यह जानकर और भी हैरानी होगी की आर्कमिडीज ने इससे भी बड़ी संख्या का उल्लेख अपनी पुस्तक में किया है.  आर्कमिडीज ने एरेटोस्थेनीज को भेजे एक प्रश्न में एक झुण्ड में मौजूद गाय और सांडो की संख्या निकालने की चुनौती दे डाली जो शदियों तक एक प्रश्न चिन्ह बना रहा. मजेदार बात यह है की इस प्रश्न का उत्तर एक इतनी विशाल संख्या है जिसे निकालने के लिए कंप्यूटर को भी 7 घंटे से ज्यादा लग गया. आज इसी गाय और सांड पर आर्कमिडीज के इसी प्रश्न के बारे में जानते हैं.

सूर्य देव के पास बैलों और गायों का एक झुंड था, जिसका एक हिस्सा सफेद, दूसरा काला, तीसरा चित्तीदार और चौथा भूरा था. सांडो की संख्या गायों की संख्या से अधिक है. सफेद सांड की संख्या काले सांड के आधे और एक तिहाई के योग और भूरे रंग के सांड के योग के बराबर है , काले रंग के सांड की संख्या ; चित्तीदार सांड के एक चौथाई और पांचवे हिस्से के योग और भूरे रंग के सांड के योग के बराबर है, चित्तीदार सांड की संख्या सफेद सांड के छठवे और सातवें हिस्से के योग और भूरे रंग के सांड के योग के बराबर है. सफेद गाय की संख्या काले जानवर के एक तिहाई और एक चौथाई योग के बराबर है, काले गाय की संख्या चित्तीदार जानवर के चौथे और पांचवे हिस्से के योग के बराबर है, चित्तीदार गाय की संख्या भूरे रंग के जानवर के पांचवे और छठे हिस्से के योग के बराबर है. भूरे रंग के गाय की संख्या सफेद जानवर के छठे और सांतवे हिस्से के योग के बराबर हैं तो गाय और सांड के अलग- अलग रंग की कितनी संख्या हैं हमें बताएं. सुनने में यह बिलकुल कठिन सा दिखता है पर इसे गणितीय रूप देने का प्रयास करें --

चलिये, यदि सफेद ,काले, चित्तिदार और भूरे रंग के सांड W, B, D  तथा Y हो तथा गायों की संख्या इसी क्रम में  w, b, d तथा  y हैं तो ये इस प्रकार होंगे

यहाँ कुल 8 चर राशी है जिसे हल करना कितना कठिन है वो आप जान सकते हैं और शायद इसी कारण हजारों सालों तक अनसुलझा ही रह गया पर इस समस्या को जर्मनी के जिम्नासियम स्कूल के प्रधानाचार्य कार्ल एर्न्स्ट अगस्त अमथोर (Carl Ernst August Amthor (1845–1916) ने 1880 इसवी में इस प्रश्न को हल करने के लिए लघुगुणक सारणी का प्रयोग करने का प्रयास किया और इसका  हल किया.

यदि इन्हें जोड़ा जाए तो यह 50,389,082  के बराबर होता है.

इस प्रश्न को और कठिन बनाने का प्रयास आर्कमिडीज ने इस प्रश्न में कुछ और पेंच डाल दिया की सफेद और काले सांड की संख्या एक वर्ग संख्या हो; चितिदार और भूरे रंग के सांड की संख्या एक त्रिभुजाकार संख्या है.

अब आप कल्पना कीजिये तीसरी शदी में आर्कमिडीज कितनी बड़ी संख्या की कल्पना कर सकते थे.

डॉ राजेश कुमार ठाकुर